Grundriß der Naturphilosophie

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Zweiter Teil.

Mathetik.

Wenn wir versuchen, den Gesamtbau der Wissenschaft gemäß dem Grundsatze von der zunehmenden Vermannigfaltigung der Begriffe zu erkennen, so ist die erste Frage, die uns entgegentritt, die nach einem Begriff, welcher von allen möglichen der allgemeinste ist, der also bei jeder Begriffsbildung selbst maßgebend wirkt. Um diesen zu finden, gehen wir auf die psychophysische Grundlage der Begriffsbildung selbst, nämlich die Tatsache der Erinnerung, zurück, und fragen uns, welches allgemeine Kennzeichen für diese Tatsache entscheidend ist. Hier nun erkennen wir alsbald, daß für das betrachtete Wesen ein vollkommen gleichförmig verlaufendes Leben keine Erinnerungen hervorrufen kann; es würde kein Anhalt vorhanden sein, um die Vergangenheit von der Gegenwart zu unterscheiden, und somit keiner, beide zu vergleichen. Das »Urphänomen« des bewußten Denkens ist also die Empfindung eines Andersseins, eine Verschiedenheit zwischen Erinnerung und Gegenwart, oder noch allgemeiner, zwischen zwei Erinnerungen.

Unsere Erlebnisse zerfallen somit für uns in Anteile, die voneinander unterschieden werden. Um von diesen Anteilen vollkommen allgemein, ohne jede Rücksicht auf ihren besonderen Inhalt, etwas aussagen zu können, müssen wir sie gemäß den Hilfsmitteln des menschlichen Verkehrs mit einem Namen bezeichnen. Nun besteht in dem Zusammenhange zwischen den Begriffen und den ihnen zugeordneten Namen in allen menschlichen Sprachen eine große Willkür und Unbestimmtheit, welche alle genaue Arbeit in der Begriffslehre auf das äußerste erschwert. Es ist also nötig, im einzelnen Falle genau anzugeben, welchen begrifflichen Inhalt ein gegebener Name haben soll. Ein jedes Erlebnis, insofern es von anderen Erlebnissen unterschieden wird, wollen wir eine Erfahrung nennen, wobei gemäß der eben getroffenen Bestimmung kein Unterschied gemacht wird, ob es sich um ein sogenanntes inneres oder äußeres Erlebnis handelt.

Von den Erfahrungen bleiben viele vereinzelt, indem sie sich nicht in ähnlicher Gestalt wiederholen und somit nicht in unserer Erinnerung verbleiben. Sie scheiden hierdurch weiterhin aus unserem geistigen Leben aus und haben keine weiteren Folgen und Zusammenhänge. Andere dagegen wiederholen sich mit mehr oder weniger Übereinstimmung und werden so zu dauernden Bestandteilen des geistigen Lebens. Ihre Dauer ist keineswegs unbegrenzt, denn auch die Erinnerungen verblassen und verschwinden; sie erstreckt sich aber jedenfalls über einen erheblichen Teil des Lebens, und das genügt für ihre Kennzeichnung.

Die Gesamtheit solcher ähnlicher und daher begrifflich zusammengefaßter Erfahrungen wollen wir Dinge nennen. Ein Ding ist also eine Erfahrung, welche sich wiederholt hat, und von uns daher »erkannt«, d.h. als wiederholt und begrifflich erfaßt empfunden wird. Dinge sind mit anderen Worten alle Erfahrungen, von denen wir Begriffe gebildet haben, und der Begriff des Dinges ist der allgemeinste Begriff, da er alle überhaupt möglichen Begriffe gemäß seiner Definition umfaßt. Sein »Wesen« oder entscheidendes Kennzeichen liegt in der Unterscheidbarkeit eines jeden Dinges von anderen. Dinge, die wir nicht unterscheiden, nennen wir gleich oder identisch. Hierbei bleibt dahingestellt, ob dieses Nichtunterscheiden stattfindet, weil wir nicht unterscheiden können, oder weil wir es nicht wollen. Alle Erfahrungen, welche zu einem Begriff zusammengefaßt werden, sind daher bezüglich dieses Begriffes als gleich empfunden oder angesehen worden. Da nun Begriffe sowohl unbewußt wie bewußt entstehen, so hat es sich im ersteren Falle um Gleichheiten gehandelt, die unmittelbar als solche empfunden worden sind. Im zweiten Falle ist dagegen bewußt von vorhandenen Verschiedenheiten abgesehen oder abstrahiert worden, um einen Begriff zu bilden, in welchen diese nicht eingehen. Dieses letztere Verfahren ist so vollständig als möglich zur Gewinnung des Begriffes Ding angewendet worden.

Wiederum der Beschaffenheit unserer Erfahrungen im allgemeinsten Sinne entnehmen wir die Erfahrung des Zusammenhanges oder der Beziehung zwischen verschiedenen Dingen. Wenn wir uns an ein Ding A, erinnern, so kommt uns ein anderes Ding B in den Sinn, dessen Erinnerung durch die von A hervorgerufen wird, und umgekehrt. Die Ursache hierzu liegt immer in irgendwelchen Erlebnissen, durch welche A und B gemeinsam den Inhalt irgendeiner Erfahrung gebildet haben. Und zwar muß eine solche Gemeinsamkeit mehrfach stattgefunden haben, da sie sonst sich aus der Erinnerung wieder verloren hätte. Es ist mit anderen Worten die Tatsache der mannigfachen Begriffe, welche in solchen Zusammenhängen zwischen verschiedenen Dingen zutage tritt. Zwei Dinge A, und B, welche auf solche Weise im Zusammenhange stehen, nennen wir einander zugeordnet. Die Zuordnung bedeutet im allgemeinsten Sinne nicht mehr, als daß wir an B denken, wenn wir A im Bewußtsein haben, und umgekehrt. Sie kann aber beliebig bestimmter gestaltet werden, so daß ganz bestimmte Gedanken oder Handlungen mit der Zuordnung von B zu A, verbunden sind. Diese sind dann die gleichen für alle Einzelfälle, die unter die Begriffe A und B fallen.

Ordnen wir dem Ding B ein weiteres Ding C zu, so entsteht eine Beziehung von gleicher Beschaffenheit, wie bei der Zuordnung von A zu B. Gleichzeitig aber entsteht eine neue Beziehung, welche nicht unmittelbar vorgenommen worden war, nämlich eine Zuordnung von A zu C. Erinnert uns A, an B, und B an C, so können wir nicht verhindern, daß uns A auch an C erinnert. Dieses psychologische Naturgesetz ist eine Quelle unzähliger besonderer Folgen. Denn wir können es unmittelbar auf den weiteren Fall anwenden, daß dem Dinge C ein weiteres D zugeordnet wird, wodurch dann ebenso notwendig neue Beziehungen zwischen A und D, sowie B und D entstehen. Hier entstehen durch die Setzung der einen Beziehung C:D zwei neue, unmittelbar nicht gegebene, nämlich A:D und B:D. Sie entstehen dadurch, daß C nicht beziehungsfrei angenommen wurde, sondern bereits mit den Beziehungen zu A und B behaftet war, und diese daher in die neue Beziehung mit D mitbrachte.

An diesem einfachsten und allgemeinsten Beispiele erkennen wir den Typus des deduktiven Verfahrens (S. 50), nämlich die Aufdeckung von Verhältnissen, die zwar durch die angenommenen Voraussetzungen bereits festgelegt worden sind, die aber bei der Vornahme der entsprechenden Operationen nicht unmittelbar zutage treten. Im vorliegenden Falle liegt allerdings die Deduktion so nahe, daß die Erkennung der fraglichen Zusammenhänge gar keine Schwierigkeiten macht. Doch kann man sich leicht verwickeltere Fälle vorstellen, in denen die Auffindung der tatsächlich vorhandenen Beziehungen sehr viel schwerer ist und deshalb unter Umständen lange vergeblich gesucht wird.

Die Gesamtheit aller einzelnen Dinge, welche unter einen bestimmten Begriff fallen, oder deren gemeinsamen Beschaffenheiten diesen Begriff ausmachen, nennen wir eine Gruppe, und jedes dieser Dinge ein Glied dieser Gruppe. Je nach der Beschaffenheit der kennzeichnenden Begriffe kann eine solche Gruppe aus einer bestimmten, endlichen Anzahl von Gliedern bestehen, oder unbegrenzt sein. So bilden die natürlichen ganzen Zahlen eine unbegrenzte oder unendliche Gruppe, während die zwischen 10 und 100 liegenden (oder zweistelligen) ganzen Zahlen eine begrenzte oder endliche Gruppe bilden.

Aus der Begriffsbestimmung der Gruppe ergibt sich das klassische sogenannte Schlußverfahren des Syllogismus, welches die Form hat: Die Gruppe A ist durch die Eigenschaft B gekennzeichnet. Das Ding C gehört zur Gruppe A. Folglich hat C die Eigenschaft B. Die hervorragende Stelle, welche Aristoteles und seine Nachfolger diesem Verfahren zugeschrieben haben, liegt in der Gewißheit begründet, welche seine Resultate besitzen. Doch hat insbesondere Kant darauf hingewiesen, daß Urteile oder Schlüsse solcher Art (die er analytische genannt hat), für den Fortschritt der Wissenschaft überhaupt keine Bedeutung haben, da sie nur das aussprechen, was bereits bekannt ist. Denn um zu sagen, daß das Ding C zur Gruppe A gehört, muß man an C das Vorhandensein des Gruppenmerkmals B bereits erkannt oder nachgewiesen haben, und dann wiederholt der Schluß nur das, was im zweiten Satze oder Minor bereits enthalten ist.

Die wird unmittelbar ersichtlich an dem klassischen Schema: Alle Menschen sind sterblich. Cajus ist ein Mensch. Also ist Cajus sterblich. Denn wenn Cajus' Sterblichkeit nicht bekannt ist (wobei es uns hier nicht darauf ankommt, woher dieses Wissen stammt), so haben wir auch nicht das Recht, ihn einen Menschen zu nennen.

Gleichzeitig tritt uns aber der Charakter des eigentlichen wissenschaftlichen Schlusses entgegen, der auf der unvollständigen Induktion beruht. Er geht nach folgendem Schema vor sich. Die Merkmale der Gruppe A sind die Kennzeichen a, b, c, d. Wir finden an dem Dinge C die Merkmale a, b, c. Daher vermuten wir, daß sich auch das Merkmal d an C finden wird. Der Grund zu dieser Vermutung liegt darin, daß wir erfahrungsmäßig die genannten Merkmale immer beieinander gefunden haben. Deshalb, und nur deshalb dürfen wir aus dem Vorhandensein von a, b, c das von d vermuten. Handelt es sich um eine willkürliche Zusammenstellung, bei welcher auch irgendwelche anderen Merkmale verbunden werden könnten, so ist der Schluß unbegründet; ist dagegen die Bildung des Begriffes A, mit den Merkmalen a, b, c, d durch wiederholte und regelmäßige Erfahrung verursacht worden, so ist der Schluß begründet, d. h. wahrscheinlich.

Tatsächlich erweist sich nun aber auch jenes klassische Beispiel, welches die absolute Sicherheit des regelmäßigen Syllogismus erweisen soll, als ein versteckter Induktionsschluß der unvollständigen Art. Denn die Aussage, daß Cajus ein Mensch sei, wird auf die Eigenschaften a, b, c (z. B. aufrechter Gang, Körperform, Sprache) begründet, während die Eigenschaft d (Sterblichkeit) nicht zur Beobachtung gelangen kann, solange Cajus noch am Leben ist. Im Sinne der klassischen Logik sind wir daher zu dem Minor: Cajus ist ein Mensch, solange nicht berechtigt, solange Cajus noch am Leben ist. Hierbei wird denn auch die ganze Zwecklosigkeit des Syllogismus anschaulich, da wir nach ihm nur von gestorbenen Menschen aussagen dürfen, daß sie sterblich sind.

Durch diese Betrachtungen wird weiter ersichtlich, daß die Logik, sei es die klassische überflüssige, sei es die wirksame moderne induktive Logik, ihrerseits nichts ist, als ein Teil der Gruppentheorie oder Mannigfaltigkeitslehre, die ihrerseits als erstes, weil allgemeinstes Glied der mathetischen Wissenschaften erscheint, wo Logik und Mathematik als Gesamtwissenschaft Mathetik genannt werden. Gemäß dem Stufenbau, nach welchem (S. 64) das Schema der gesamten Wissenschaften bewußt entworfen worden ist, können wir aber nichts anderes erwarten, als daß diejenigen Kenntnisse, welche für den Betrieb aller anderen Wissenschaften erforderlich sind (und die Logik wird von jeher als eine solche unumgänglich notwendige Kenntnis oder wenigstens Praxis angesehen), sich in der Mathetik gesammelt und geordnet vorfinden.

Sind die Kennzeichen a, b, c, d einer Gruppe A festgestellt worden, so kann man die Gesamtheit aller Dinge in zwei Anteile teilen: nämlich die Dinge, welche der Gruppe A angehören, und diejenigen, welche es nicht tun. Diese zweite Gesamtheit kann man ihrerseits als eine Gruppe für sich auffassen; sie heiße die Gruppe »Nicht- A«, und aus der Definition dieser Gruppe ergibt sich, daß beide Gruppen, A und Nicht- A, zusammen die Gesamtheit aller Dinge ausmachen.

Dies ist der Sinn und die Bedeutung der sprachlichen Form der Verneinung: sie schließt das verneinte Ding von irgendeiner im Satze angegebenen Gruppe aus, und ordnet sie eben dadurch der zweiten oder Ergänzungsgruppe ein.

Das Kennzeichen einer solchen Gruppe ist das gemeinsame Fehlen der Kennzeichen der positiven Gruppe. Hierbei ist darauf zu achten, daß, da bereits die Abwesenheit eines der Kennzeichen a, b, c, d die Zugehörigkeit des Dinges zur Gruppe A ausschließt, für die Zugehörigkeit zur Gruppe Nicht- A ebendiese Abwesenheit bereits ausreicht. Man kann also von der Gruppe Nicht- A keineswegs aussagen, daß jedem ihrer Glieder alle Kennzeichen a, b, c, d fehlen müssen, sondern nur, daß jedem ihrer Glieder mindestens eines der Kennzeichen fehle, daß aber eines oder einige anwesend und mehrere oder alle abwesend sein können. Hieraus ergeben sich gewisse Verschiedenheiten der beiden Gruppen, die man wohl im Auge behalten muß.

Diese Betrachtung ist insbesondere wichtig für die Behandlung der Negation bei den Schlüssen der formalen Logik. Wir brauchen uns nicht in sie zu vertiefen, da wir von letzterer keinen besonderen Gebrauch machen werden.

Die Zusammenstellung der Kennzeichen, welche zur Definition einer Gruppe dienen sollen, ist zunächst ganz willkürlich. Somit können wir, wenn wir eine solche willkürliche Zusammenstellung a, b, c, d gewählt haben, eines der Kennzeichen, z.B. c, fortlassen, und eine Gruppe mit den Kennzeichen a, b, d bilden. Eine solche Gruppe, die ärmer an Kennzeichen ist, wird im allgemeinen reicher an Gliedern sein, denn zu ihr gehören zunächst alle Dinge mit den Kennzeichen a, b, c, d, aus denen die erste Gruppe bestand, und außerdem noch alle Dinge, welche zwar nicht c, wohl aber a, b und d besitzen.

Nennen wir nun solche Gruppen verwandt, welche gemeinsame Kennzeichen, nur in verschiedener Anzahl und Zusammensetzung, enthalten, derart, daß man die Definition der einen Gruppe aus der der anderen durch Fortlassen oder Aufnehmen einzelner Kennzeichen erhalten kann, so können wir den allgemeinen Satz aussprechen, daß unter den verwandten Gruppen diejenige reicher an Gliedern sein muß, welche ärmer an Kennzeichen ist, und umgekehrt. Dies ist die exakte Begründung des oben ausgesprochenen weniger bestimmten Satzes.

Die hier zunächst aus systematischen Gründen gemachte Annahme indessen, daß man willkürlich das eine oder andere Kennzeichen einer Gruppe fortlassen könne, findet sich in der Erfahrung häufig nicht zulässig. Vielmehr finden wir meist, daß die Dinge, denen eines der Kennzeichen einer Gruppe fehlt, auch eine Anzahl anderer Kennzeichen vermissen lassen, daß mit anderen Worten die Kennzeichen nicht alle unabhängig voneinander sind, sondern daß jedesmal eine gewisse Anzahl von ihnen zusammengehören, derart, daß sie entweder gemeinsam oder gar nicht an einem Ding vorhanden sind.

Man kann diesen Fall aber auf den erstbeschriebenen allgemeinen überführen, wenn man die zusammengehörigen Kennzeichen als je ein Kennzeichen behandelt, so daß die Gruppe durch lauter unabhängige Kennzeichen definiert wird. Dann kann man definitionsgemäß, ohne den Anschluß an die Erfahrung zu verlieren, jene formale Mannigfaltigkeit der möglichen verwandten Gruppen durchführen, welche das ergibt, was man eine Klassifikation der entsprechenden Dinge nennt.

Seien zur Bestimmung einer Gruppe eine bestimmte Anzahl unabhängiger Kennzeichen, etwa a, b, c, d und e angenommen, so haben wir zunächst die engste oder ärmste Gruppe abcde. Durch Fortlassen eines Kennzeichens gewinnen wir die fünf Gruppen bcde, acde, abde, abce und abcd. Lassen wir noch ein Kennzeichen fort, so giebt es zehn verschiedene Gruppen, nämlich abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde. Ebenso gibt es zehn Gruppen mit je zwei Kennzeichen und endlich fünf Gruppen mit je einem Kennzeichen. Alle diese Gruppen sind verwandt. Es gibt eine Wissenschaft, die Kombinatorik, welche uns die Regeln angibt, nach welchen bei gegebenen Elementen oder Kennzeichen die Art und Anzahl der möglichen Gruppen gefunden wird. Sie gestattet, eine vollständige Zusammenstellung und Übersicht aller möglichen mannigfachen Begriffe zu gewinnen, welche sich aus gegebenen einfachen (seien diese nun wirklich elementare Begriffe oder nur relativ solche) bilden lassen. Hat man derart die fundamentalen Begriffe irgendeines Wissensgebietes zusammengestellt, so gewinnt man mittels der Kombinatorik eine vollkommene Übersicht der möglichen Teile dieser Wissenschaft.

Um dieses Verfahren an irgendeinem Beispiele anschaulich zu machen, betrachten wir die Lehre von der chemischen Zusammensetzung der Stoffe, die einen wichtigen Teil der chemischen Wissenschaft bildet. Hier gibt es etwa 70 Elemente, und die Wissenschaft hat zu behandeln

bis wir schließlich zu einer (erfahrungsgemäß nicht existierenden) Gruppe gelangen, welche solche Stoffe umfaßt, die aus allen Elementen gebildet werden. Daß es solche Stoffe innerhalb des gegenwärtigen Kreises menschlicher Kenntnisse nicht gibt, hat natürlich für die Beschaffenheit des Schemas gar keine Bedeutung; diese liegt vielmehr darin, daß das Schema wirklich alle möglichen Stoffe so umfaßt und ordnet, daß wir uns keinen Fall denken können, daß ein neu entdeckter Stoff nicht alsbald nach stattgehabter Untersuchung einer der vorgesehenen Gruppen zugeordnet werden könnte.

Um auch ein Beispiel aus einem anderen Gebiete zu geben, sei daran erinnert, daß man die Physik als die Lehre von den verschiedenen Arten der Energie darstellen kann. Diese gesamte Wissenschaft zerfällt demgemäß zunächst in die Lehren von den Eigenschaften der einzelnen Energien, sodann in die Lehre von den Beziehungen je zweier, dreier usw. Energien. Auch hier können wir sagen, daß es schließlich kein physikalisches Phänomen geben kann, welches sich nicht in einer der so erhaltenen Gruppen unterbringen ließe.

Natürlich heißt dies weder in der Chemie noch in der Physik so viel, daß ein jeder neue Fall sich in dem Schema unterbringen läßt, das durch die erschöpfende Kombination der zurzeit bekannten elementaren Begriffe (seien es chemische Elemente oder Energiearten) gewonnen wird. Es ist ganz wohl möglich, daß das neue Ding, das man untersucht, einen neuen Elementarbegriff enthält, so daß das Schema seinetwegen durch die Aufnahme dieses neuen Elements erweitert werden muß. Dann aber tritt gleichzeitig eine entsprechende Anzahl neuer Gruppen in dem Schema auf, und der Forscher wird darauf hingewiesen, daß er noch eine begründete Aussicht hat, auch diese neuen Dinge unter günstigen Umständen zu entdecken. So dient die kombinatorische Durcharbeitung nicht allein dazu, den vorhandenen Bestand der Wissenschaft in solcher Ordnung unterzubringen, daß jedes einzelne Ding seinen angewiesenen Ort hat, sondern die hierbei gefundenen leeren Gruppen, denen noch kein Ding der Erfahrung entspricht, weisen auf die Stellen hin, an denen die Wissenschaft vervollständigt werden kann.

Aus den vorstehenden Darlegungen geht hervor, wie bereits aus den beiden Begriffen Ding und Ordnung eine große Mannigfaltigkeit von verschiedenartigen und gesetzmäßigen Gebilden sich entwickeln läßt. Es sind dies rein erfahrungsmäßige Verhältnisse, denn daß man mehrere Dinge in der aufgewiesenen Stufenfolge und Gesetzlichkeit kombinieren kann, geht aus beiden Begriffen allein nicht hervor, sondern muß erfahren werden. Andererseits sind aber beide Begriffe so allgemein, daß die erhaltenen Erfahrungen auf alle möglichen Erlebnisse angewendet werden und zu ihrer Einteilung und Übersicht dienen können.

Die vorstehenden Darlegungen haben indessen die vorhandenen Möglichkeiten noch keineswegs erschöpft. Denn es ist stillschweigend die Annahme gemacht worden, daß bei der Verbindung mehrerer Dinge die Reihenfolge, nach welcher diese Verbindung stattfindet, keinen Unterschied des Ergebnisses bedingen soll. Dies trifft für manche Dinge zu, aber nicht für alle; um daher die Möglichkeiten zu erschöpfen, ist die Kombinatorik auch auf den Fall auszudehnen, daß die Reihenfolge berücksichtigt wird, und daß somit das Gebilde ab von ba verschieden ist.

Es soll hier nicht unternommen werden, die Ergebnisse dieser Annahme durchzuführen; man erkennt alsbald, daß die Mannigfaltigkeit der verschiedenen Fälle viel größer wird, als bei Vernachlässigung der Reihenfolge. Endlich soll noch bemerkt werden, daß noch andere Ursachen der Verschiedenheit bestehen können. Eine chemische Verbindung ist allerdings nicht durch die Reihenfolge ihrer Elemente beeinflußt, wohl aber bestehen bei gleichen Elementen Verschiedenheiten in ihren Mengenverhältnissen, und es wird dadurch eine neue Mannigfaltigkeit in das System hineingebracht, so daß zwei (oder mehrere) gleiche Elemente doch verschiedene Verbindungen bilden können, je nach der Verschiedenheit der Mengenverhältnisse. Ja selbst hiermit ist die vorhandene Mannigfaltigkeit nicht erschöpft, denn es können sogar aus gleichen Elementen in gleichen Mengenverhältnissen verschiedene Stoffe entstehen, welche isomer genannt werden und verschiedenen Energieinhalt besitzen. Aber durch diese Zunahme der Mannigfaltigkeit wird jenes erste Schema nicht etwa unbrauchbar gemacht oder zerstört, sondern es entsteht nur die Erscheinung, daß sich mehrere verschiedene Dinge statt eines in derselben Gruppe des ursprünglichen Schemas vorfinden, deren systematische Ordnung eine weitere Schematisierung an der Hand anderer Kennzeichen nötig macht.

Da wir von der Voraussetzung ausgegangen sind, daß alle Glieder einer Gruppe voneinander verschieden sind, so haben wir eine vollständige Freiheit, sie zu ordnen. Die nächstliegende Ordnung, nach welcher auf irgend ein bestimmtes Glied ein einziges anderes, und auf dieses wieder ein ganz bestimmtes einzelnes Glied folgt, und so fort (wie z.B. die Buchstaben des Alphabets geordnet sind), ist keineswegs die einzige, wenn auch die einfachste. Außer dieser linearen Ordnung gibt es beispielsweise noch eine solche, daß auf jedes frühere Glied gleichzeitig zwei neue folgen, oder die Glieder können sich verhalten wie die Anzahl der Kugeln in einem pyramidalen Kugelhaufen usw. Indessen werden wir nicht viel Anlaß haben, uns mit diesen verwickelteren Ordnungstypen zu beschäftigen, und können daher unsere Betrachtungen zunächst auf die einfachste aller Ordnungen, die lineare, beschränken.

Diese größte Einfachheit aller möglichen Beschaffenheiten drückt sich in der Tatsache aus, daß die unmittelbar erlebten Dinge unseres Bewußtseins in solcher Weise geordnet sind. In der Tat verlaufen die Inhalte unseres inneren Sinnes in linearer Weise, indem immer ein einziges neues Glied sich an ein vorhandenes schließt. Es ist allerdings nicht so, daß dies Gesetz streng und ausschließlich eingehalten wird; zuweilen ereignet es sich, daß unser Bewußtsein eine einmal eingeschlagene Richtung des Gedankenverlaufes noch einige Zeit verfolgt, während bereits an einer früheren Stelle eine Verzweigung eingetreten war, in welcher eine andere Gedankenreihe begonnen hatte. Indessen pflegt doch eine dieser Ketten sehr bald abzureißen und der lineare Charakter des inneren Erlebens sich alsbald wieder herzustellen. Von einzelnen besonders geistesmächtigen Männern wird berichtet, daß sie solche mehrfache Gedankenreihen auch während längerer Zeit durchzuführen vermochten, so von Julius Cäsar.

Die hier erwähnte biologische Eigenschaft der linearen Aneinanderreihung unserer Bewußtseinsinhalte hat zu dem Begriffe der Zeit geführt, welche sachgemäß als die Anschauungsform des inneren Sinnes bezeichnet worden ist. Daß alle unsere Erlebnisse in der Zeit erfolgen, ist ein Satz, welcher dasselbe besagt, wie daß unsere Denkvorgänge eine linear geordnete Gruppe darstellen. Wie aus den oben gemachten Bemerkungen hervorgeht, handelt es sich hier keineswegs um eine Form, die absolut und für alle Zukunft unveränderlich ist; vielmehr haben sich einige besonders hochentwickelte Menschen von ihr bereits frei zu machen begonnen. Wohl aber sitzt die vorhandene Form durch Vererbung und Gewöhnung so fest, daß es für die meisten Menschen noch unausführbar erscheint, sich den Verlauf der inneren Erlebnisse anders als linear oder eindimensional vorzustellen. Da wir aber andererseits alle gelernt haben, den Raum, der uns optisch nur zweidimensional erscheint (Höhe und Breite sehen wir, während wir die Tiefe aus sekundären Merkmalen erschließen), doch als dreidimensional zu empfinden, so erkennen wir, daß es sich hier um Anpassungen handelt, deren äußerst geringe Veränderlichkeit im Laufe der Jahrtausende uns den Eindruck der Unveränderlichkeit gibt. Mathematiker, welche sich viel mit der formalen Theorie des vierdimensionalen Raumes beschäftigt haben, gewinnen ein Vorstellungsvermögen für diese Gebilde, das dem für den dreidimensionalen, das uns allen geläufig ist, vergleichbar erscheint. Eine Unmöglichkeit, sich den vierdimensionalen Raum vorzustellen, besteht also, entgegen oft wiederholten Behauptungen, keineswegs; nur muß man allerdings nicht versuchen, sich den vierdimensionalen Raum im dreidimensionalen vorzustellen, und dies noch dazu, ohne Kenntnis von seinen Eigenschaften zu haben.

Durch die vorstehenden Betrachtungen werden wir auf eine weitere Verschiedenheit geführt, welche in linear geordneten Gruppen bestehen kann. Während in dem ersterwähnten Beispiel der Buchstabenreihe die Folge ganz willkürlich war, indem eine jede andere Folge ebensogut möglich ist, können wir dies von den zeitlichen Erlebnissen nicht sagen. Sie sind nicht willkürlich, sondern durch besondere Umstände geordnet, die von der Gesamtheit der Dinge abhängen, welche in den vorliegenden Erlebnissen zusammenwirken.

Während also eine Gruppe mit freien, d. h. durch nichts geordneten Gliedern auf sehr verschiedene Weise in lineare Ordnung gebracht werden kann, gibt es Gruppen, bei denen nur eine dieser Ordnungen tatsächlich stattfindet. Man bemerkt alsbald, daß bei freien Gruppen die Zahl der verschiedenen möglichen Anordnungen um so größer wird, je größer die Gruppe selbst ist. Die Kombinatorik lehrt diese Zahlen berechnen, welche in den verschiedenen Gebieten der Mathematik eine sehr wichtige Rolle spielen. Die natürlich geordneten Gruppen stellen immer einen Einzelfall aus diesen Möglichkeiten dar, dessen Quelle stets außerhalb des Gruppenbegriffes liegt, d. h. von den Dingen selbst ausgeht, welche zur Gruppe vereinigt sind.

Eine besonders wichtige Gruppe in linearer Ordnung ist die der natürlichen Zahlen. Sie entsteht auf folgende Weise.

Man abstrahiert zunächst von der Verschiedenheit der Dinge, welche sich in der Gruppe befinden, d. h. man beschließt, obwohl sie verschieden sind, auf ihre Verschiedenheit nicht zu achten. Dann beginnt man mit irgendeinem Gliede der Gruppe und bildet hieraus eine Gruppe für sich; hierbei ist es gleichgültig, welches Glied man wählt, da alle als gleich angesehen werden. Dann fügt man ein weiteres Glied hinzu, und kennzeichnet die so entstandene Gruppe wiederum als einen besonderen Typus. Dann wird noch ein Glied hinzugefügt und der entsprechende Typus gebildet, usf. Die Erfahrung lehrt, daß niemals ein Hindernis aufgetreten ist, durch Zufügung je eines weiteren Gliedes immer neue Typen solcher Art zu bilden, so daß das Verfahren dieser besonderen Gruppenbildung als unbegrenzt oder unendlich angesehen werden darf.

Die so erhaltenen Gruppen oder Typen nennt man die natürlichen Zahlen. Aus der Beschreibung des Verfahrens geht hervor, daß eine jede Zahl zwei Nachbarn hat, einen, aus dem sie durch Zufügung eines Gliedes entstanden ist, und einen, der aus ihr durch eine solche Zufügung entsteht. Nur bei der Eins, wo die Reihe begonnen wurde, ist diese Eigenschaft in besonderer Form vorhanden, indem die vorangegangene Gruppe die Gruppe Null, d. h. eine Gruppe ohne Inhalt ist. Hieraus ergeben sich Besonderheiten für dieses Glied, auf welche hier nicht eingegangen werden kann.

Durch die Ordnung ist nun, entsprechend einer früheren (S. 73) Bemerkung, nicht nur eine jede Zahl in bestimmte Beziehung mit der vorangegangenen gebracht, sondern, da diese letztere ihrerseits eine große Anzahl von Beziehungen zu allen vorangegangenen bereits besitzt, so üben diese Beziehungen ihre Wirkung auch auf das neue Verhältnis aus. Hierdurch entstehen außerordentliche mannigfaltige Verhältnisse und Gesetzmäßigkeiten zwischen den verschiedenen Zahlen, deren Erörterung den Gegenstand einer ausgedehnten Wissenschaft bildet.

An dem gesetzmäßigen Gebilde, das die Zahlenreihe darstellt, lassen sich nun zahllose besondere Eigenschaften auf Grund entsprechender Untersuchungen feststellen. Diese rein wissenschaftliche, d. h. ohne technischen Sonderzweck ausgeführte Arbeit hat aber die ungemein große praktische Bedeutung, daß durch sie alle Möglichkeiten, die sich auf die Ordnung und Teilung gezählter Dinge beziehen, ein für allemal zum Gebrauch fertigstellt, und somit für jeden Sonderfall ohne weiteres übernommen werden können. Es ist bereits bei früherer Gelegenheit darauf hingewiesen worden, daß hierin die sachliche Bedeutung der theoretischen Wissenschaften liegt, die gerade aus diesem praktischen Grunde so allgemein wie möglich getrieben werden müssen. Diese Wissenschaft heißt Arithmetik.

Eine wichtige Verallgemeinerung erfährt die Arithmetik dadurch, daß man bei der Rechnung von den einzelnen Zahlen absieht, an denen die Rechnung ausgeführt wird, und an ihrer Stelle mit abstrakteren Zeichen arbeitet, welche für jede beliebige Zahl stehen. Auf den ersten Blick sieht dies ziemlich überflüssig aus, indem ja bei einer jeden wirklichen Rechnung die Zahlen doch wieder eingeführt werden müssen. Der Gewinn liegt darin, daß bei übereinstimmenden Rechnungen die erforderlichen Schritte ein für allemal formell erledigt werden, so daß die Einführung der Zahlenwerte erst beim Schlußresultat erforderlich ist und nicht durch alle Stufen bewerkstelligt zu werden braucht. Außerdem treten die allgemeinen Gesetze der Zahlenverbindung viel deutlicher zutage, wenn durch Beibehaltung der Zeichen die Zusammensetzung des Schlußergebnisses aus den beteiligten Gliedern unmittelbar sichtbar bleibt. So hat sich denn die Rechnung mit abstrakten oder allgemeinen Größen unter dem Namen der Algebra als ein ausgedehntes und wichtiges Gebiet der Gesamtmathematik entwickelt.

Unter Zahlentheorie endlich versteht man den allgemeinsten Teil der Arithmetik, der sich mit den Eigenschaften des gesetzmäßig gebildeten »Zahlenkörpers« beschäftigt.

Bisher ist die Betrachtung auf einzelne Gruppen und die Eigenschaften beschränkt gewesen, welche eine solche für sich aufweist. Wir wollen nun die Beziehungen untersuchen, welche zwischen zwei (oder mehreren) Gruppen sowohl bezüglich ihrer einzelnen Glieder, wie in ihrer Gesamtheit bestehen.

Haben wir zunächst zwei Gruppen, deren Glieder alle einzeln unterschieden werden, so kann man je ein Glied der einen Gruppe je einem Gliede der anderen zuordnen. Dies bedeutet, daß man bestimmt, es solle mit jedem Gliede der zweiten Gruppe dasselbe geschehen, was man mit dem entsprechenden Gliede der ersten vornimmt. Damit eine solche Regel durchführbar ist, muß das, was man mit den Gliedern vornimmt, beiderseits auch tatsächlich ausführbar sein, d.h. es dürfen keine Eigenschaften betätigt werden, die nur einzelnen Gliedern für sich zukommen, sondern nur solche Eigenschaften, welche ein jedes Glied als Glied einer Gruppe hat. Dies sind, wie wir gesehen haben, die Eigenschaften der Ordnung.

Zunächst ist die Zuordnung gegenseitig, d.h. es ist willkürlich, an welcher von beiden Gruppen man die Vorgänge eintreten läßt. Dies Verhältnis der beiden Gruppen heißt reziprok oder symmetrisch.

Ferner kann man das Verfahren der Zuordnung auf eine dritte, vierte usw. Gruppe ausdehnen, mit der Wirkung, daß an allen zugeordneten Gruppen das geschehen soll, was an einer von ihnen vorgenommen wird. Wenn hierbei die dritte Gruppe der zweiten zugeordnet wird, so erweist sich, daß sie ganz die gleichen Vorgänge erfährt, als wäre sie der ersten unmittelbar zugeordnet, statt mittelbar durch die zweite. Und ebendasselbe gilt für die vierte, fünfte usw. Gruppe. Die Zuordnung kann sich also auf beliebig viele Gruppen erstrecken, und jede einzelne von ihnen erweist sich jeder anderen zugeordnet.

Endlich kann auch eine Gruppe sich selbst zugeordnet werden, indem jedem ihrer Glieder ein bestimmtes anderes Glied entspricht. Hierbei ist es nicht ausgeschlossen, daß einzelne Glieder sich selbst entsprechen, dann hat die Gruppe Doppelglieder, bzw. Doppelpunkte. Als Grenzfall tritt die Identität ein, bei welcher ein jedes Glied sich selbst entspricht. Dieser letzte Fall kann an sich keine besondere Erkenntnis bringen, wohl aber kann er nützlich als Erläuterung für solche Betrachtungen verwendet werden, bei denen er die äußerste Möglichkeit darstellt.

Haben wir zwei Gruppen A und B und ordnen ihre Glieder einzeln einander zu, so können drei Fälle eintreten. Entweder ist die Gruppe A erschöpft, während in B noch Glieder vorhanden sind, oder B erschöpft sich bei der Zuordnung früher als A, oder endlich beide Gruppen gestatten die gegenseitige Zuordnung aller ihrer Glieder. Im ersten Falle nennt man A kleiner (im weiteren Sinne des Wortes) als B, im zweiten B kleiner als A, im dritten Falle sagt man, daß beide Gruppen gleichgroß seien. Gleichbedeutend mit dem Ausdrucke: A ist kleiner als B, ist der Ausdruck: B ist größer als A und umgekehrt.

Bemerkenswert ist, daß die eben ausgesprochenen Beziehungen gelten, gleichgültig ob die Glieder als einzeln verschieden voneinander angesehen werden, oder ob man auf die Beachtung der Verschiedenheit der Glieder verzichtet und sie als gleich behandelt. Dies ergibt sich daraus, daß man jede bestimmte Anordnung einer Gruppe in jede andere mögliche Anordnung dadurch überführen kann, daß man je zwei Glieder gegeneinander paarweise vertauscht. Da hierbei immer ein Glied durch ein anderes ersetzt wird, niemals also eine Lücke an Stelle eines Gliedes entsteht, so kann die Gruppe in der neuen Anordnung der anderen Gruppe mit demselben Erfolg zugeordnet werden, wie in der alten Anordnung. Gleichzeitig ergibt sich hieraus, daß bei jeder Zuordnung einer Gruppe zu sich selbst, unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder, sie sich selbst gleich erweisen muß.

Durch die Ausführung der Zuordnung überzeugt man sich ferner von der Richtigkeit der folgenden Sätze:

Daraus geht hervor, daß man eine beliebige Sammlung von endlichen Gruppen, von denen keine der anderen gleich ist, stets so ordnen kann, daß die Reihe mit der kleinsten anfängt und mit der größten aufhört, und daß immer eine größere auf eine kleinere folgt. Diese Ordnung ist eindeutig, d. h. es gibt nur eine einzige Reihe aus den gegebenen Gruppen, welche diese Eigenschaft hat. Wie wir alsbald sehen werden, ist die Reihe der natürlichen Zahlen der reinste Typus einer so geordneten Reihe.

Vergleicht man zwei unbegrenzt große Gruppen durch Zuordnung, so wird man einerseits sagen können, daß niemals die eine Gruppe erschöpft sein wird, während die andere noch Glieder enthält. Hiernach wird man also zwei (und beliebig viele) unbegrenzte oder unendliche Gruppen als einander gleich bezeichnen können. Andererseits hat aber die Angabe, daß in beiden Gruppen jedes Glied der einen einem Gliede der anderen zugeordnet sei, wegen der unbegrenzt großen Anzahl der Glieder keinen bestimmten Sinn. Die Definition der Gleichheit ist also unvollkommen erfüllt, und man darf den für endliche Gruppen geltenden Ausdruck nicht ohne weiteres auf unendliche Gruppen anwenden. Diese Überlegung, die je nach Umständen sehr verschiedene Formen annehmen kann, erklärt die »Paradoxien des Unendlichen«, d. h. die Widersprüche, die entstehen, wenn man Begriffe bestimmten Inhaltes auf Fälle anwendet, in denen teilweise ein anderer Inhalt vorhanden ist. Will man derartiges versuchen, so muß man jedesmal eine besondere Untersuchung darüber vornehmen, wie die Verhältnisse durch die Veränderung jener Inhalte (oder Voraussetzungen) sich ihrerseits verändern, und man muß im allgemeinen erwarten, daß eine unveränderte Geltung der früheren Verhältnisse nicht gefunden werden wird.

Wir haben bei diesen Betrachtungen die Anwendung der Zuordnung für die Gewinnung einer Anzahl grundlegender und vielfältig angewendeter Sätze kennen gelernt. Tritt schon hieraus die große Wichtigkeit dieses Verfahrens hervor, so werden wir später erkennen, daß dessen Bedeutung noch sehr viel weiter geht. Die ganze Methodik sämtlicher Wissenschaften beruht auf der mannigfaltigsten und vielseitigsten Verwendung des Zuordnungsverfahrens, und wir werden später unaufhörlich Gelegenheit haben, es immer und immer wieder zu benutzen. Seine Bedeutung läßt sich kurz dahin kennzeichnen, daß es das allgemeine Mittel bildet, Zusammenhang in die Gesamtheit unserer Erfahrung zu bringen.

Die Gruppe der natürlichen Zahlen erweist sich wegen ihrer grundsätzlichen Einfachheit und Regelmäßigkeit als bei weitem die beste Grundlage, um ihr irgendwelche anderen Gruppen zuzuordnen. Denn indem die Arithmetik und Zahlentheorie die Eigenschaften dieser Gruppe in eingehendster Weise kennen lehrt, erlangen wir durch den Vorgang der Zuordnung das Recht und die Möglichkeit, diese Eigenschaften in jeder anderen Gruppe vorauszusetzen und wiederzufinden, die mir der Zahlengruppe zugeordnet haben. Die Ausführung einer solchen Zuordnung nennt man Zählen, und aus den gemachten Voraussetzungen ergibt sich, daß wir alle Dinge zählen können, insofern wir von ihren Verschiedenheiten absehen.

Das Zählen erfolgt, indem man der Reihe nach je ein Glied der Gruppe den aufeinanderfolgenden Gliedern der Zahlenreihe zuordnet, bis die zu zählende Gruppe erschöpft ist. Die letzte Zahl, welche für die Zuordnung erforderlich war, nennt man die Anzahl der Glieder der gezählten Gruppe. Da die Zahlenreihe unbegrenzt fortläuft, so kann man jede gegebene Gruppe zählen.

Den Zahlen sind ihrerseits sowohl Namen wie Zeichen zugeordnet. Erstere sind in den verschiedenen Sprachen verschieden, letztere sind dagegen international, d. h. sie haben die gleiche Gestalt in allen Sprachen. Daraus geht die merkwürdige Tatsache hervor, daß geschriebene Zahlen von allen kultivierten Menschen verstanden werden, während gesprochene nur innerhalb der verschiedenen Sprachgebiete erkennbar sind.

Der Zweck des Zählens ist sehr mannigfaltig. Die häufigste und wichtigste Anwendung besteht darin, daß die Anzahl ein Maß für die Wirksamkeit oder den Wert der entsprechenden Gruppe liefert, indem beide gleichzeitig ab- und zunehmen. Ferner dient die Zahl als Grundlage für Teilungen und Ordnungen aller Art, die man innerhalb der Gruppe bewerkstelligen will, wobei man ausgiebig von dem Satze Gebrauch macht, daß alles, was in der gegebenen (Zahlen-)Gruppe ausführbar ist, auch in der zugeordneten (gezählten) Gruppe ausführbar ist.

Die eben erwähnte Zuordnung von Namen und Zeichen zu der Gruppe der Zahlen gibt Anlaß, über derartige Zuordnungen einige allgemeine Bemerkungen zu machen.

Die Möglichkeit, die Anordnungen, die man an einer der Gruppen ausgeführt hat, auch an der zugeordneten Gruppe ausführen zu können, gewährt eine außerordentliche Erleichterung für die zweckmäßige praktische Gestaltung der Wirklichkeit. Hat man durch Zählung etwa an einer Gruppe von Menschen festgestellt, daß sie Sechzig beträgt, so kann man, ohne die erforderlichen Bewegungen wirklich ausführen zu lassen, aus dieser Zahl entnehmen, daß es möglich ist, diese Menschen etwa in sechs Reihen zu Zehn, oder in fünf Reihen zu Zwölf, oder in vier Reihen zu Fünfzehn aufzustellen, daß man aber keine vollständigen Reihen bekommt, wenn man solche zu Sieben oder Elf zu bilden versucht. Diese und zahllose weitere Eigenschaften der Menschengruppe kann man ihrer Anzahl, d. h. der Zuordnung zu einer bis Sechzig gehenden Zahlengruppe entnehmen. Durch die Zuordnung haben wir also ein Mittel, Tatsachen kennen zu lernen, ohne uns mit den entsprechenden Wirklichkeiten unmittelbar befassen zu müssen.

Es ist klar, daß ein so ungeheurer Vorteil für die Beherrschung und Gestaltung des Lebens sehr bald von den Menschen bemerkt und benutzt werden mußte. So sehen wir denn das Verfahren der Zuordnung nicht nur bei den primitivsten Menschen in allgemeinem Gebrauch, sondern auch die höheren Tiere verstehen die Zuordnung bewußt zu benutzen. Wenn der Hund lernt, auf seinen Namen zu kommen, wenn das Pferd das Hü und Hott des Kutschers mit den richtigen Bewegungen beantwortet, so liegt in jedem Falle die Zuordnung einer bestimmten Handlung oder Reihe von Handlungen, d. h. eines Begriffes zu einem Zeichen, d. h. dem Gliede einer anderen Gruppe vor, wobei nicht die geringste Ähnlichkeit zwischen den einander zugeordneten Dingen zu bestehen braucht. Was erforderlich ist, beschränkt sich darauf, daß das zugeordnete Zeichen einerseits leicht und zweckmäßig hervorgebracht, andererseits leicht »verstanden«, d. h. durch die Sinne aufgenommen und von anderen Zeichen, die anderen Dingen zugeordnet sind, sicher unterschieden wird.

Den häufigsten Begriffen zugeordnete Lautzeichen bilden denn nun auch die Anfänge der Sprache im engeren Sinne. Aus welchen Gründen die besonderen Formen der Lautzeichen ursprünglich gewählt wurden, ist sehr schwer zu ermitteln und auch von keiner großen Bedeutung. Jedenfalls sind im Laufe der Zeiten diese ursprünglichen Anlässe dem Bewußtsein entschwunden, und der heutige Zusammenhang ist rein äußerlich. Dies geht ja bereits aus der enormen Verschiedenheit der Sprachen hervor, in welchen für denselben Begriff Hunderte von verschiedenen Zeichen benutzt werden.

Nun wäre die Aufgabe, zu der Gruppe der Begriffe eine entsprechende Gruppe von Lauten zuzuordnen, daß jedem Begriff ein eigener Laut entspricht, oder mit anderen Worten, daß die Zuordnung eindeutig ist, ganz wohl lösbar und würde keineswegs menschliche Kräfte übersteigen, wenn nicht die Begriffe selbst sich noch in einem so wirren Zustande befänden, wie das gegenwärtig der Fall ist. Wir haben gesehen, daß die Versuche von Leibniz und Locke, ein System der Begriffe mindestens in großen Zügen zu entwerfen, inzwischen gar keine weitere Entwicklung erfahren haben. Selbst die bestgeordneten Begriffe, die der Wissenschaften, unterliegen diesem Vorwurfe. Dazu kommt, daß die Begriffe, sowohl die wissenschaftlichen wie die des täglichen Lebens, sich infolge der menschlichen Fortschritte in einem unaufhörlichen Wandel befinden, während die zugeordneten Zeichen verhältnismäßig beständiger sind. Aber auch sie wandeln sich, wie die Geschichte der Sprachen lehrt, langsam um, und zwar nach ganz anderen Gesetzen, als die Begriffe. Die Folge davon ist, daß in der Sprache die Zuordnung von Begriffen und Worten nichts weniger als eindeutig ist. Das Vorhandensein sowohl mehrerer Namen für den gleichen Begriff, wie mehrerer Begriffe für den gleichen Namen verzeichnet die Sprachlehre unter dem Namen der Synonyme und Homonyme. Diese Gebilde, die zufällig entstanden sind, bedeuten ebenso viele grundsätzliche Fehler der Sprache, da sie das Prinzip der Eindeutigkeit, auf dem das Wesen der Sprache beruht, zerstören. Infolge der falschen Auffassung von diesem Wesen hat man sich bisher durchaus gescheut, in bewußter Weise die Sprache so zu entwickeln, daß sie sich mehr und mehr dem Ideal der Eindeutigkeit nähert; letzteres ist vielmehr kaum bekannt, viel weniger anerkannt.

Die Lautzeichen haben zwar den Vorteil, leicht und ohne Hilfsmittel hervorgebracht und über eine nicht unerhebliche Entfernung mitgeteilt werden zu können, sie leiden aber unter dem Nachteil der unmittelbaren Vergänglichkeit. Sie reichen daher zwar für den Zweck augenblicklicher Verständigung aus, und werden hierfür fortdauernd angewendet. Sowie es sich aber darum handelt, Mitteilungen über weitere Strecken oder Zeiten zu vermitteln, müssen die Lautzeichen durch dauerhaftere Gebilde ersetzt werden.

Hierbei wendet man sich an einen anderen Sinn: den Gesichtssinn. Da Lichtzeichen viel weitere Strecken zurücklegen können als Lautzeichen, ohne unerkennbar zu werden, so haben wir zunächst die optischen Telegraphen, die in sehr verschiedenen Formen, am wirksamsten in der Gestalt des Heliotrops, eine immerhin ziemlich beschränkte Anwendung finden. Viel allgemeiner im Gebrauch ist die andere Art optischer Zeichen, welche objektiv auf geeigneten Unterlagen angebracht werden, und später so lange dauern und verstanden werden können, als der betreffende Gegenstand dauert. Solche Zeichen bilden die Schriftsprache im weitesten Sinne, und auch hier handelt es sich um die Zuordnung von Zeichen und Begriffen.

Auch für diese beiden Gruppen gelten zunächst die Bemerkungen über die sehr große Unvollkommenheit des gegenwärtigen Begriffssystems der Menschheit. Dagegen sind die Schriftzeichen von sehr viel größerer Unveränderlichkeit als Lautzeichen, weil diese jedesmal neu hervorgebracht werden müssen, während Schriftzeichen auf geeignetem Material nicht nur Jahrhunderte, sondern auch Jahrtausende überdauern können. Daher kommt es, daß die Schriftsprachen im ganzen doch erheblich besser entwickelt sind als gesprochene; ja, es bestehen sogar einzelne Fälle, wo das Ideal nahezu erreicht ist.

Ein solcher Fall liegt in den Schriftzeichen der Zahlen vor, wie bereits angedeutet worden war. Durch die systematische Handhabung der zehn Zeichen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ist es nicht nur möglich, jeder beliebigen Zahl ein Schriftzeichen zuzuordnen, sondern diese Zuordnung ist streng eindeutig, d. h. jede Zahl kann nur auf eine Weise geschrieben werden, und jedes Zahlenzeichen hat nur eine einzige Zahlbedeutung. Dies ist auf folgende Weise erreicht worden.

Zunächst ist der Gruppe der Zahlen von Null bis Neun je ein besonderes Zeichen zugeordnet worden. Der nächsten, gleich reichen Gruppe von Zehn bis Neunzehn werden die gleichen Zeichen zugeordnet, und um sie von jener früheren Gruppe zu unterscheiden, wird diesen das Zeichen Eins vorgesetzt. Die folgende Gruppe wird durch das vorgesetzte Zeichen Zwei gekennzeichnet und so geht es zunächst bis zur Neunergruppe fort. Die darauffolgende Gruppe erhält, dem angenommenen Prinzip gemäß, das Zahlzeichen für Zehn, welches zweistellig ist, vorgesetzt, und in ganz übereinstimmender Weise werden alle folgenden Zahlen gekennzeichnet. Hierdurch erreicht man erstens mit Sicherheit, daß keine Zahl in ihrer Reihenfolge der Bezeichnung entgeht, und man erreicht zweitens, daß niemals ein einmal gebrauchtes Gesamtzeichen wiederkehrt. Beide Eigenschaften sind ausreichend, um die Eindeutigkeit der Zuordnung zu sichern.

Es ist bekannt, daß das eben dargelegte System der Bezifferung keineswegs das einzig mögliche ist. Wohl aber ist es von allen bisher versuchten das konsequenteste und einfachste, so daß ihm niemals ein ernsthafter Konkurrent entstanden ist, und es die ungeschickten Bezifferungen, mit denen sich seinerzeit die Griechen und Römer plagen mußten, bei seiner Einführung durch die Araber alsbald auf Nimmerwiederkehren verdrängt hat. Ebenso ist es in ganz gleicher Gestalt bei allen Kulturvölkern eingedrungen und bildet einen übereinstimmenden Bestandteil aller entsprechenden Schriftsprachen.

Gleichzeitig liefert der Vergleich der gesprochenen und geschriebenen Zahlen einen sehr aufklärenden Nachweis für die viel größere Unvollkommenheit der Wortsprache. Die Zahl 18 654 wird in deutscher Sprache Achtzehntausendsechshundertvierundfünfzig ausgesprochen, d. h. man nennt zuerst die zweite, dann die erste, dann die dritte, fünfte und vierte Ziffer und bringt außerdem vier verschiedene Stellbezeichnungen (-zehn, -tausend, -hundert, -zig) an. Eine zwecklosere Verwirrung kann man sich kaum erdenken. Viel klarer wäre es, einfach die Ziffern in ihrer Reihenfolge zu nennen, nämlich Einsachtsechsfünfvier; auch wäre eine solche Benennung eindeutig. Kommt es darauf an, daß man von vornherein bei der ersten Zahl deren Stellenwert angibt, so kann man dies in irgendeiner konventionellen Weise ausführen, etwa indem man die entsprechende Ordnungszahl vorausschickt. Doch wäre dies bereits eine Überbestimmung und sollte für gewöhnlich fortbleiben. Auch die übliche Benennung der größeren Gruppen: Zehn, Hundert, Tausend, Million, Billion usw. ist ganz unzweckmäßig. Stellt man sich die Aufgabe, mit möglichst wenig Worten Bezeichnungen für die Stellenwerte zu finden, so ergibt sich, daß die Zahlen von der Form 10 ² ⁿ, wo n eine ganze Zahl ist, eigene Namen erhalten müssen, also die Zahlen 10, 100, 10 000, 100 000 000 usw. Hierdurch wäre die Aufgabe gelöst, mit möglichst wenig Namen möglichst viele Zahlen benennen zu können.

Für die Zuordnung zwischen Begriffen und Schriftzeichen gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder ist die Zuordnung direkt, so daß es sich nur darum handelt, jeden Begriff mit einem entsprechenden Zeichen zu versehen, oder sie ist indirekt, indem die Zeichen nur dazu dienen, die Sprachlaute wiederzugeben; dann stützt sich die Schriftsprache vollständig auf die Lautsprache, und es besteht nur die verhältnismäßig leicht lösbare Aufgabe, eine eindeutige Zuordnung zwischen Zeichen und Laut herzustellen. Während die chinesische Schrift nach dem direkten Verfahren ausgeführt ist, beruhen sämtliche Schriften des europäisch-amerikanischen Kulturkreises auf dem indirekten.

Allerdings handelt es sich hierbei nur um die gewöhnliche außerwissenschaftliche Sprache, während in der Wissenschaft auch die europäischen Völker vielfach eine unmittelbare Begriffsschrift ausgebildet haben. Die Zahlenzeichen waren bereits ein Beispiel dafür; die musikalischen Notenzeichen sind ein zweites, welches allerdings bei weitem nicht die gleiche Vollkommenheit zeigt. Durch den Gebrauch der verschiedenen »Schlüssel« wird die eindeutige Verbindung zwischen Tonhöhe und Notenzeichen zerstört, und die am Anfange für die ganze Zeile geschriebenen »Vorzeichen« haben den Fehler, daß sie das Kennzeichen örtlich von der Stelle entfernen, wo es zur Anwendung kommt. Trotz dieser Unvollkommenheit ist indessen die Notenschrift ganz international, und jeder, der europäische Musik versteht, versteht auch ihre Zeichen. Es ist nicht schwierig, unter dem Gesichtspunkte der Eindeutigkeit die Notenschrift zu vervollkommnen, wodurch den Musiklernenden eine sehr weitgehende Erleichterung zuteil werden würde.

Grundsätzlich wird man nicht zögern dürfen, in der Begriffsschrift oder Pasigraphie die vollkommenere Lösung des Problems der Zeichenordnung anzuerkennen. Ermöglicht doch selbst die sehr unvollkommene chinesische Pasigraphie den schriftlichen Verkehr (namentlich für kaufmännische Zwecke) zwischen den verschiedenen ostasiatischen Völkern, die einige Dutzend verschiedene Sprachen sprechen, indem eine jede Sprachgemeinschaft die gemeinsamen Zeichen in ihre eigenen Worte übersetzt, ganz wie dies bei den Zahlenzeichen der Fall ist. Damit aber eine solche Darstellung vollkommen ist, oder doch wenigstens sich diesem Ideal nähert, muß sie eine ganze Reihe von Bedingungen erfüllen, wofür gegenwärtig kaum eine entfernte Möglichkeit sich erkennen läßt.

Zunächst könnte man nämlich die Begriffe einfach nehmen, wie sie in den verschiedenen Sprachen in Gestalt von Wörtern und grammatischen Formen niedergelegt sind, und ein jedes mit einem willkürlichen Zeichen versehen. Dies ist etwa die Beschreibung des chinesischen Systems. Hieraus aber ergibt sich eine ungeheure Belastung des Gedächtnisses, die aus der großen Anzahl der Wörter einerseits, und der Notwendigkeit, die Zeichen innerhalb gewisser Grenzen der Einfachheit zu halten, andererseits ergibt. Überlegt man, daß sich die mannigfachen Begriffe nach gewissen, noch vielfach unbekannten Gesetzen aus einer verhältnismäßig kleinen Anzahl elementarer Begriffe bilden, so kann man daran denken, die Zeichen der mannigfachen Begriffe durch Zusammenfügung derer der elementaren Begriffe nach entsprechenden Regeln zu bilden. Dann wäre nur das Erlernen der Zeichen für die elementaren Begriffe und der Zusammensetzungsregeln erforderlich, um die Gesamtheit der möglichen Begriffe darstellen zu können. Selbst für die natürliche Erweiterung der Begriffswelt wäre hierbei gesorgt, da jeder neue Elementarbegriff sein neues Zeichen bekommen könnte, das dann zur Ableitung aller von ihm abhängigen mannigfachen Begriffe dienen würde. Ja sogar wenn ein bisher als elementar angesehener Begriff sich als zusammengesetzt erweisen sollte, wäre es nicht schwierig, sein Zeichen wie den Namen eines erloschenen Geschlechtes für ausgestorben zu erklären, und nötigenfalls nach angemessener Zeit für andere Zwecke zu verwenden.

Die Zahlenzeichen geben ein vorzügliches Beispiel zur Erläuterung dieser Überlegungen und dienen gleichzeitig zum Nachweise, daß auf beschränkten Gebieten das Ideal bereits erreicht worden ist. Ein anderes, sehr lehrreiches Beispiel bilden die chemischen Formeln, welche zwar die Buchstaben der europäischen Sprachen benutzen, mit diesen aber keine Lautbegriffe, sondern nur chemische Begriffe verbinden. Indem den chemischen Elementen bestimmte Buchstaben zugeordnet werden, kann man zunächst qualitativ die Zusammensetzung aller Verbindungen durch Zusammensetzung der entsprechenden Buchstaben kennzeichnen. Da ferner aber die quantitative Zusammensetzung nur nach bestimmten Verhältnissen vor sich geht, welche durch Vielfache gewisser Zahlen bemessen werden, die jedem Elemente eigen sind und dessen Verbindungsgewicht heißen, so braucht man nur mit dem Zeichen des Elements noch den Begriff des Verbindungsgewichts zu verbinden, um auch die quantitative Zusammensetzung darzustellen. Hierbei müssen allerdings noch die erwähnten Multiplen zugefügt werden. Da es ferner noch verschiedene Stoffe gibt, welche trotz gleicher Zusammensetzung verschiedene Eigenschaften haben, so hat man durch die gegenseitige Stellung der Elementenzeichen auf der Ebene des Papiers (und in neuerer Zeit auch durch räumliche Darstellung) diese neue Mannigfaltigkeit auszudrücken versucht, und hat auch hier Regeln ermittelt, welche einen nahen Anschluß der Formel an die Erfahrung gestatten. Dieses Beispiel zeigt, wie durch die stetige Vermannigfaltigung eines Begriffes (hier der chemischen Zusammensetzung) an das zugeordnete Schema immer größere und mannigfaltigere Anforderungen gestellt werden. Nicht immer ist die zuerst gewählte Ausdrucksform genügend, um dem Fortschritt der Wissenschaft überallhin zu folgen; dann muß sie von Grund aus den neuen Anforderungen gemäß neu gestaltet werden.

Viel unvollkommener im Sinne einer eindeutigen Zuordnung als die Begriffsschrift ist die Lautschrift. Bei dieser werden offenbar alle Mängel, die in der Zuordnung zwischen Begriff und Laut bereits vorhanden sind, in die Schriftsprache hinübergenommen. Dazu kommen noch die Mängel in der eindeutigen Zuordnung zwischen Laut und Zeichen, welche in keiner Sprache fehlen und in einigen, namentlich im Englischen, zu einer um Abhilfe schreienden Kalamität sich entwickelt haben. Das Prinzip der Eindeutigkeit würde nämlich verlangen, daß niemals ein Zweifel bestehen darf, wie ein gesprochenes Wort geschrieben, und ebensowenig ein Zweifel, wie ein geschriebenes Wort ausgesprochen wird. Es bedarf keines Nachweises, wie oft in allen Sprachen dieser Grundsatz verletzt wird. Im Deutschen wird der gleiche Laut je nachdem durch f, v und ph dargestellt, und mit den Zeichen c, g, s und anderen sind mehrere verschiedene Laute verbunden. Die Tatsache, daß man beim Schreiben irgendeiner Sprache orthographische Fehler begehen kann, ist ein unmittelbarer Beweis ihrer Unvollkommenheit, und je häufiger diese Möglichkeit auftritt, um so unvollkommener ist die Sprache in dieser Beziehung. Es ist bekannt, daß die seit einigen Jahrzehnten im Deutschen begonnenen orthographischen Reformen das Ziel haben, die Eindeutigkeit in der Zuordnung zwischen Zeichen und Laut herzustellen; doch muß zugegeben werden, daß diese Richtlinie nicht immer ohne Schwanken verfolgt wurden ist; einige Neueinführungen, wie z. B. die Endung -ieren, stellen zweifellos einen Rückschritt dar, da das Zeichen ie nicht anders ausgesprochen wird, als das Zeichen i und eines von beiden daher überflüssig ist.

Vergleicht man die Untersuchungen, welche hier, entsprechend dem Charakter dieses Büchleins, mehr angedeutet als ausgeführt worden sind, mit dem Inhalte der an den Universitäten und in zahllosen Büchern gelehrten Sprachwissenschaft oder Philologie, so findet man einen sehr großen Unterschied zwischen beiden. Verhältnisse, die im Sinne des Sprachzweckes sehr belanglos sind, wie die meisten Regeln und Gebräuche der Grammatik, erfahren hier eine überaus eingehende Untersuchung, die sich natürlich darauf beschränken muß, festzustellen, wie einzelne Personen oder auch Gruppen diese Regeln beachtet haben oder nicht. Auch die von der modernen vergleichenden Sprachwissenschaft in erster Linie gepflegten Studien über den Zusammenhang der Wortformen untereinander und über die Umbildung derselben im Laufe der Geschichte, sowohl innerhalb der Sprachgemeinden wie beim Überschreiten derselben, erscheinen vom Standpunkte der Zuordnungstheorie als höchst entbehrlich. Denn es kommt herzlich wenig darauf an, durch welchen, meist ganz äußerlichen Umwandlungsvorgang ein bestimmtes Wort dazu gekommen ist, später einem ganz anderen Begriff zugeordnet zu werden, als früher. Unverhältnismäßig viel wichtiger, wenn auch an Wichtigkeit der eigentlichen Begriffslehre weit nachstehend, wären Untersuchungen über die langsame Umgestaltung der Begriffe selbst, die allerdings weit schwieriger durchzuführen sind, als solche an den schriftlich niedergelegten Wortformen.

Durch einen geschichtlichen Vorgang, dessen Erörterung hier viel zu weit führen würde, hat sich indessen eine ganz unverhältnismäßige Vorstellung von der Wichtigkeit solcher Wortuntersuchungen ausgebildet. Fragt man sich aber, welchen Anteil diese Arbeiten an dem Fortschritte der menschlichen Kultur genommen haben, so gerät man in Verlegenheit, sie anzugeben. Sprach wissenschaft wird von ihren Vertretern streng von der bloßen Sprach kenntnis unterschieden, welch letztere als eine unvergleichlich niedrigere Sache angesehen wird. Während aber die Sprachkenntnis wenigstens die Bedeutung hat, daß sie das in anderen Sprachen niedergelegte Kulturmaterial vermittelt und durch Übersetzung denen zugänglich macht, die nicht über die Sprachkenntnis verfügen, lehnt die Philologie nach dieser Richtung Verdienste ab und ihr Betrieb wird kommenden Jahrhunderten ebenso unbegreiflich zwecklos erscheinen, wie uns gegenwärtig die Scholastik des Mittelalters erscheint.

Parallel mit der unbegründeten Wichtigkeit, welche der Lehre von den Sprachformen im geschichtlichen Sinne zugeschrieben wird, geht die nicht besser begründete Wichtigkeit, welche man der grammatischen und orthographischen Korrektheit beim Gebrauche der Sprache zuweist. Dieser üble Schulmeistersinn hat es so weit gebracht, daß es für nahezu ehrenrührig gilt, wenn jemand die üblichen Formen seiner Muttersprache, ja sogar einer Fremdsprache, wie Französisch, verletzt. Dabei vergißt man, daß weder Luther noch Goethe »korrektes« Deutsch gesprochen und geschrieben haben, und man vergißt, daß es nicht die Aufgabe einer richtigen Sprachpflege sein kann, die vorhandenen sprachlichen Gebräuche, unbeschadet ihrer Unvollkommenheit, ja Unsinnigkeit, so genau als möglich beizubehalten, sondern daß die eigentliche Aufgabe vielmehr in einer sachgemäßen Entwicklung und Verbesserung der Sprache besteht. Es ist bereits darauf hingedeutet worden, daß in einem bestimmten Gebiete, dem der Orthographie, sich die richtige Auffassung vom Wesen der Sprache und ihrer Pflege allmählich durchzusetzen begonnen hat. Bei den meisten Nationen sind Bemühungen vorhanden, die Orthographie im Sinne der eindeutigen Beziehung zu verbessern, und wenn einmal erst genügende Klarheit über das Ziel herrscht, so werden die erforderlichen Mittel keine besonderen Schwierigkeiten machen.

Aber in den anderen Gebieten der Sprache fehlt es noch fast ganz an sachgemäßer Auffassung. Daß beispielsweise die vielfachen Zuordnungen in demselben Satze, wie sie in den besonderen Pluralformen beim Eigenschaftswort, Zeitwort, Fürwort usw. bestehen, völlig entbehrlich sind, zeigt zwar das Beispiel der englischen Sprache, aber die Idee, diesen natürlichen Verbesserungsvorgang, der sich dort unbewußt vollzogen hat, bewußt auf andere Sprachen anzuwenden, scheint auch dem kühnsten Sprachreformer noch nicht gekommen zu sein. So sehr stehen wir alle unter dem Schulmeisterideal, d. h. dem Ideal der Beibehaltung alles Unsinns und aller Unzweckmäßigkeit in der Sprache, insofern und weil sie nun einmal gebräuchlich sind.

Die Einführung einer allgemeinen Hilfssprache (S. 193), welche durch die welterschütternden Ereignisse der letzten Jahre sich als eine immer dringlicher werdende Notwendigkeit erwiesen hat, wird einen mehrfachen Gewinn bringen. Einmal wird es ein gemeinsames Verständigungsmittel für alle allgemein menschlichen Angelegenheiten, insbesondere für die Wissenschaft geben, wodurch eine Energieersparnis von gar nicht zu übersehender Tragweite sich wird erreichen lassen. Ferner aber wird die abergläubische Scheu vor der Sprache und ihrer Handhabung einer angemesseneren Würdigung ihres technischen Zweckes Platz machen, und wenn man an der künstlichen Hilfssprache sich täglich wird überzeugen können, wie viel einfacher und vollständiger sich eine solche gestalten läßt, als es die »natürlichen« Sprachen sind, so wird das Bedürfnis, diese letzteren an solchen Vorzügen gleichfalls teilnehmen zu lassen, sich schließlich unwiderstehlich geltend machen. Die Folgen eines solchen Fortschrittes für die menschliche Geistesarbeit im allgemeinen werden außerordentlich groß sein. Denn man darf behaupten, daß gerade die allgemeinste aller Wissenschaften, die Philosophie, bis auf den heutigen Tag nur deshalb so äußerst beschränkte Fortschritte gemacht hat, weil sie sich des Hilfsmittels der »natürlichen« Sprachen hat bedienen müssen. Dies wird insbesondere daran ersichtlich, daß die nächstverwandte Wissenschaft, die Mathematik, die allergrößten Fortschritte gemacht hat, daß aber diese Fortschritte erst eingetreten sind, nachdem sie sich in den indisch-arabischen Ziffern einerseits, in den algebraischen Zeichen andererseits eine Sprache geschaffen hat, welche das Ideal der eindeutigen Zuordnung zwischen Begriffen und Zeichen tatsächlich mit großer Annäherung verwirklicht.

Alle bisherigen Betrachtungen beruhten auf dem allgemeinen Begriffe des Dinges, d. h. der von anderen Erfahrungen unterschiedenen Einzelerfahrung. Hierbei trat die Tatsache des Verschiedenseins, die als allgemeines Erlebnis zu dem entsprechenden elementaren Begriff geführt hat, gemäß ihrer Allgemeinheit in den Vordergrund. Daneben besteht aber eine andere allgemeine Erfahrungstatsache, die zu einem ebenso allgemeinen Begriff geführt hat. Dies ist der Begriff der Stetigkeit.

Wenn wir beispielsweise am Abend beim Dunkelwerden auf die Verminderung des Lichtes achten, das in unserem Zimmer vorhanden ist, so können wir keineswegs behaupten, daß wir es im gegenwärtigen Augenblicke dunkler finden, als soeben vorher. Wir bedürfen vielmehr einer merklich langen Zeit, um mit Sicherheit sagen zu können, daß es nun jedenfalls dunkler geworden ist, als vorher, und während dieser ganzen Zeit haben mir niemals die Zunahme der Dunkelheit von Augenblick zu Augenblick empfunden, obwohl wir theoretisch durchaus davon überzeugt sind, daß dies die sachgemäße Auffassung des Vorganges wäre.

Diese eigentümliche Erfahrung, daß wir die einzelnen Anteile einer Verschiedenheit nicht wahrnehmen, deren Wirklichkeit wir doch anerkennen, nachdem diese Verschiedenheit einen gewissen Betrag erreicht hat, ist sehr allgemein und beruht ähnlich wie die Erinnerung auf einer grundlegenden physiologischen Tatsache. Sie ist schon von Herbart gekennzeichnet, von Fechner aber zuerst in ihrer Wichtigkeit erkannt und unter dem Namen der Schwelle seitdem in der Physiologie und Psychologie allgemein bekannt geworden. Neben der Erinnerung bestimmt die Schwelle die Grundeigenschaften unseres geistigen Lebens.

Die Schwelle besteht also in der Tatsache, daß wir bei all unseren Zuständen eine Verschiedenheit oder Veränderung erst wahrnehmen, wenn diese Verschiedenheit oder Veränderung einen bestimmten Betrag überschritten hat. Diese Eigentümlichkeit tritt bei allen unseren Zuständen oder Erfahrungen ein. Für die Lichterscheinungen des Hell und Dunkel ist das Beispiel bereits gegeben worden; dasselbe gilt für Verschiedenheiten der Farbe. Gleiches beobachten wir bei Beurteilungen der Tonhöhen und Tonstärken, gleiches aber auch beim Gemeingefühl, denn zwischen Wohlbefinden und Übelbefinden bestehen im allgemeinen gleichfalls nur unmerkliche Übergänge, und nur wenn diese sich in sehr kurzer Zeit vollziehen, werden wir uns der Veränderung wirklich bewußt.

Auf die physische Ursache dieser psychischen Erscheinungen braucht nur kurz hingedeutet zu werden. Es handelt sich bei allen unseren Erlebnissen darum, daß ein vorhandener chemisch-physikalischer Zustand in den Sinnesapparaten und im Zentralorgan geändert wird. Nun wissen wir es aus den Erfahrungen an den physikalischen Apparaten, die wir bauen, daß ein solcher Vorgang immer eines endlichen, wenn auch zuweilen sehr kleinen Betrages an Arbeit oder, allgemein gesprochen, Energie bedarf, um überhaupt eintreten zu können. Auch die allerfeinste Wage, die etwa auf ein Milliontel Gramm empfindlich ist, bleibt unbewegt, wenn man sie mit einem Zehnmilliontel belastet, während wir einen Körper von solch kleinem Gewichte beispielsweise noch ganz wohl unter dem Mikroskop sehen können. In ebensolcher Weise bedarf es eines bestimmten Energieaufwandes, um den Sinnesapparat oder das Zentralorgan zu betätigen, und alle Ursachen, welche geringer sind, als diese Grenze oder Schwelle, bewirken keine Erfahrung ihres Vorhandenseins.

Hierdurch wird nun in unserer Erfahrung der schwierige Begriff der Stetigkeit hervorgerufen. Der oben beschriebene Übergang von der Tageshelle zum Abenddunkel erfolgt stetig, das heißt, es wird an keiner Stelle des ganzen Überganges bemerkt, daß der eben vergangene Zustand von dem gegenwärtigen verschieden wäre, während doch die Verschiedenheit über ein weiteres Gebiet des Erlebnisses unverkennbar ist. Will man sich den Widerspruch, der hierin gegen andere Denkgewohnheiten besteht, anschaulich machen, so braucht man sich nur folgendes zu vergegenwärtigen. Den Zustand A zu einer bestimmten Zeit vergleiche ich mit dem Zustande B, der so beschaffen ist, daß er zwar von A objektiv verschieden ist, daß aber der Unterschied noch nicht die Schwelle erreicht hat. Ich muß daher erfahrungsgemäß A gleich B setzen. Dann vergleiche ich B mit einem Zustande C, der von B in gleichem Sinne objektiv verschieden ist, wie A von B, aber gleichfalls noch innerhalb der Schwelle, wenn auch nahe an ihrer Grenze. Auch B werde ich gleich C setzen müssen. Vergleiche ich nun aber A unmittelbar mit C, so überschreitet die Summe der beiden Unterschiede den Schwellenwert und ich finde A von C verschieden. Dies ist also ein Widerspruch gegen den fundamentalen Satz, daß aus A=B und B=C auch A=C folgt. Dieser Satz gilt für gezählte Dinge, die demgemäß unstetig sind, nicht aber für stetige innerhalb unserer Empfindung. Wenn man ihn trotzdem auf stetige Dinge oder Größen im engeren Sinne anwendet, so muß man sich darüber klar sein, daß es sich ebenso um eine Extrapolation auf den nicht vorhandenen Idealfall handelt (S. 55), wie bei anderen allgemeinen Sätzen, die zwar aus der Erfahrung stammen, in ihrem Ausspruche aber aus Zweckmäßigkeitsgründen über die Erfahrung hinausgehen.

Die eben angegebenen Veranschaulichungen zeigen auch, daß diese Verhältnisse keineswegs auf die Urteile beschränkt sind, welche wir auf Grund von unmittelbaren Sinnesempfindungen fällen. Wenn wir mittels der Wage drei Gewichte vergleichen, deren Unterschiede unterhalb der Empfindlichkeitsgrenze liegen, ihr aber nahekommen, so können wir gleichfalls zu dem Widerspruche A=B, B=C, aber A

C rein empirisch und objektiv gelangen. Daher halten wir in der Meßkunst immer daran fest, daß die angegebenen Beziehungen keinen Anspruch auf Geltung haben außerhalb der Grenze ihrer möglichen Fehler. Demgemäß kann zwar die Ungleichheit A

C beobachtet werden; der Unterschied beider Werte kann aber nicht größer sein, als höchstens der zweifache Schwellenwert beträgt.

Diese Betrachtungen gewähren uns gleichfalls ein Urteil über die oft wiederholte Behauptung, daß im Gegensatze zu den physikalischen Gesetzen die mathematischen Gesetze absolut genau seien. Die mathematischen Gesetze beziehen sich nicht auf wirkliche Dinge, sondern auf gedachte ideale Grenzfälle. Sie können daher an der Erfahrung überhaupt nicht geprüft werden, und die Anforderungen, welche die Wissenschaft an sie stellt, liegen auf anderem Boden. Sie müssen von der Beschaffenheit sein, daß die Erfahrung sich ihnen unbegrenzt annähert, wenn bestimmte, wohlbekannte Voraussetzungen mehr und mehr erfüllt werden, und daß die verschiedenen Abstraktionen und Idealisierungen so gewählt worden sind, daß sie miteinander nicht in Widerspruch geraten. Solche Widersprüche sind keineswegs immer vermieden worden; sie dürfen aber nicht als der inneren Organisation unseres Geistes zugehörig betrachtet werden (wie dies z.B. Kant tat), sondern sie rühren von unvorsichtiger Handhabung der Begriffstechnik her, durch welche Voraussetzungen als gültig behandelt werden, die man doch an anderer Stelle aufgegeben hatte. Ein Beispiel derartiger Verhältnisse ist uns bereits in der Anwendung des Gleichheitsbegriffes auf unbegrenzte Gruppen (S. 93) entgegengetreten.

Die Frage, ob denn nun die als stetig empfundenen Dinge, z.B. Raum und Zeit, »wirklich« oder »wahrhaft« stetig seien, oder ob sie nicht in letzter Analyse als unstetig aufgefaßt werden müßten, bedarf der gleichen Vorsichtsmaßregeln für ihre Beantwortung. Die verschiedenen Sinnesapparate, und noch mehr die verschiedenen physikalischen Apparate, mit denen wir gegebene Zustände untersuchen, sind von sehr verschiedener »Empfindlichkeit«, d.h. die Schwelle für die Unterscheidung von Verschiedenheiten kann sehr verschieden groß sein. Daher wird ein Ding, das für einen empfindlichen Apparat unstetig ist, sich einem weniger empfindlichen gegenüber als stetig verhalten. Wir werden also um so mehr Dinge stetig finden, je weniger scharf unser Unterscheidungsvermögen ausgebildet ist.

Während durch diesen Umstand die Möglichkeit gegeben wird, daß wir unstetige Dinge als stetig auffassen, bringen die Zeitverhältnisse unter Umständen eine entgegengesetzte Wirkung hervor. Wenn ein Vorgang sich zwar stetig, aber sehr schnell ändert und in dem neuen Zustande wesentlich unverändert beharrt, so werden wir diese Folge leicht als unstetig auffassen. Dies geschieht unwiderstehlich, wenn die Änderung in einer kürzeren Zeit verläuft, als die zeitliche Schwelle für die Einzelwahrnehmung betragt. Da nun diese Schwelle mit unserem Allgemeinbefinden veränderlich ist, so kann ein und derselbe Vorgang uns je nach Umständen sowohl stetig wie unstetig erscheinen. Hier haben wir also eine Ursache, durch welche umgekehrt bei fortschreitender Kenntnis mehr und mehr Dinge als stetig erkannt werden. Fragen wir schließlich die Erfahrung, so ergibt sich als die Summe unserer Kenntnis allerdings, daß wir zweckmäßig an jedes Ding mit der Voraussetzung der Stetigkeit herantreten, » Die Natur macht keine Sprünge« und ähnliche sprichwörtliche Verallgemeinerungen bringen diese Gesamterfahrung zum Ausdrucke. Doch sei nochmals betont, daß es sich bei solchen Entscheidungen um Fragen der Erfahrung, nicht um solche nach der Natur unseres Denkvermögens handelt.

Das Messen steht im Gegensatz zum Zählen. Während dort die Dinge von vornherein als einzelne angesehen wurden, die Gruppe also ein unstetig zusammengesetztes Gebilde ist, besteht das Messen gerade darin, stetigen Dingen Zahlen zuzuordnen, d.h. einen unter der Voraussetzung der Unstetigkeit gebildeten Begriff auf stetige Dinge anzuwenden.

Es liegt in der Natur einer solchen Aufgabe, daß hierbei irgendwie die Schwierigkeit der Anpassung zutage treten muß. Diese kennzeichnet sich denn auch darin, daß eine Messung sich als eine unabgeschlossene und unabschließbare Operation erweist. Wenn dennoch das Messen als einer der wichtigsten Fortschritte des menschlichen Denkens mit Recht bezeichnet werden kann und muß, so folgt daraus, daß jene grundsätzlichen Schwierigkeiten sich praktisch unschädlich machen lassen.

Vergegenwärtigen wir uns irgendeinen Messungsvorgang, beispielsweise die Bestimmung der Länge eines Papierstreifens. Man legt einen in Millimeter (oder irgendeine andere Einheit) geteilten Maßstab an den Streifen und bestimmt den Teilstrich, bei welchem der Streifen endet. Hierbei stellt es sich heraus, daß der Streifen nicht genau mit dem Teilstrich endet, sondern zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. Und wenn man auch den Maßstab mit einer zehnmal oder hundertmal feineren Teilung versieht, so wird dadurch die Sachlage nicht geändert: unter dem Mikroskop wird man im allgemeinen das Ende nicht mit einem Teilstrich zusammenfallen sehen. Was man angeben kann, beschränkt sich somit darauf, daß die Länge zwischen n und n+1 Einheiten liegen muß, und selbst wenn man irgendeine bestimmte Zahl angibt, so ergänzt der wissenschaftlich gebildete Benutzer dieser Zahl diese durch das Zeichen

f, wo f den möglichen Fehler bedeutet, d. h. die Grenze, innerhalb deren die angegebene Zahl falsch sein kann.

Man erkennt alsbald, wie der charakteristische Begriff der Schwelle, der zur Auffassung des Stetigen geführt hat, sich bei der Beziehung desselben auf die unstetige Zahl alsbald geltend macht. Man kann die Anpassung beider beliebig so weit führen, als man imstande ist, die Schwelle zu verkleinern, aber man kann die letztere nicht grundsätzlich zum Verschwinden bringen.

Die Bedeutung des Messens liegt also darin, daß es die Operation des Zählens mit all ihren Vorteilen (S. 94) auf stetige Dinge anwendbar macht, die sich als solche zunächst natürlich der Zählung entziehen. Man stellt durch die Anwendung der Meßeinheit zunächst künstlich eine Unstetigkeit her, indem man das Ding in Stücke gleich der Einheit zerlegt oder doch zerlegt denkt, und nun diese Stücke zählt. Wenn man etwa eine Flüssigkeitsmenge durch Ausschöpfen mit einem Litermaß mißt, so wird dieser allgemeine Vorgang auch physisch ausgeführt. Bei allen anderen, weniger direkten Meßmethoden wird der physische Vorgang durch einen gleichwertigen, leichter ausführbaren Prozeß ersetzt. So wird in dem oben benutzten Beispiel vom gemessenen Papierstreifen darauf verzichtet, diesen in millimeterlange Stücke zu zerschneiden. Man hat umgekehrt in dem eingeteilten Maßstabe die Länge jeder in Betracht kommenden Anzahl von Millimetern zum Vergleich verfügbar und braucht daher an der Bezifferung des Maßstabes nur abzulesen, welche Summe von einzelnen Millimetern gleich der Länge des Streifens ist, um daraus zu schließen, daß der Streifen in eine gleiche Anzahl millimeterlanger Stücke zerschnitten werden könnte.

Nachdem die stetigen Dinge auf solche Weise zählbar gemacht worden sind, kann man ihre Zahlen allen den Rechenoperationen unterwerfen, welche zunächst nur für diskrete, direkt zählbare Dinge entwickelt worden waren. Denkt man daran, daß unsere Kenntnis der Dinge uns diese vorwiegend als stetig ergeben hat, so sieht man alsbald ein, welch ein wichtiger Schritt durch die Erfindung des Messens für die geistige Bewältigung unserer Erlebnisse getan worden war.

Der Begriff der Stetigkeit gestattet die Ausbildung eines weiteren Begriffes von großer Allgemeinheit, der sich als eine Erweiterung des Kausalbegriffes (S. 40) kennzeichnen läßt. Letzterer erwies sich als ein Ausdruck der Erfahrung: wenn A ist, so ist auch B. Hierbei ist unter A ein bestimmtes, zunächst unveränderlich gedachtes Ding verstanden. Nun kann es sich aber begeben, daß A nicht unveränderlich ist, sondern einen Begriff darstellt, der mit stetig veränderlichen Kennzeichen versehen ist. Dann wird im allgemeinen auch B von der gleichen Beschaffenheit sein, indem jedem besonderen Werte oder Zustande von A auch ein besonderer Wert oder Zustand von B entspricht.

Hierdurch haben wir an Stelle der gegenseitigen Beziehung zweier bestimmter Dinge die gegenseitige Beziehung zweier mehr oder weniger ausgedehnter Gruppen ähnlicher Dinge. Sind diese Dinge stetig, wie hier angenommen wird (und was ungemein oft zutrifft), so enthalten beide Gruppen oder Reihen, auch wenn sie begrenzt sind, unendlich viele Einzelfälle. Ein solches Verhältnis zweier veränderlicher Dinge nennt man eine Funktion. Wenn dieser Begriff auch vorwiegend für die gegenseitige Beziehung stetiger Dinge gebraucht wird, so besteht doch kein Hindernis, ihn auf unstetige Dinge anzuwenden, und man unterscheidet demgemäß stetige und unstetige Funktionen.

Der geistige Fortschritt, welcher in der Auffassung der gegenseitigen Beziehung ganzer Reihen oder Gruppen zueinander liegt, gegenüber der Auffassung der Beziehungen zwischen einzelnen Dingen, ist ein sehr erheblicher und kennzeichnet in ausdruckvollster Weise das moderne wissenschaftliche Denken gegenüber dem antiken. Wo der antike Geometer etwa nur die Fälle des spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecks kannte, und sie einzeln behandelte, stellt sich der moderne Geometer die Dreiecksseite vom Winkel Null ab sich erhebend und das ganze Gebiet der möglichen Winkel durchlaufend vor. Demgemäß fragt er auch nicht, wie sein antiker Kollege, nach den Sondersätzen, die für diese Sonderfälle auszusprechen sind, sondern er fragt, in welchem stetigen Verhältnis etwa die Seiten und Winkel zueinander stehen und läßt die Sonderfälle sich auseinander entwickeln. Hierdurch erlangt er eine sehr viel tiefere und wirksamere Einsicht in die Gesamtheit der vorhandenen Verhältnisse.

Insbesondere in der Mathematik hat die Einführung des Begriffes der Stetigkeit und der hieraus entstehende Funktionsbegriff einen außerordentlich tiefen Einfluß ausgeübt. Die sogenannte höhere Analysis oder die Analysis des Unendlichen war die nächste, die Funktionentheorie im allgemeinsten Sinne war die spätere Folge dieses fundamentalen Fortschrittes. Er beruht darauf, daß man die in den mathematischen Formeln auftretenden Größen nicht mehr als bestimmte (bzw. willkürlich zu bestimmende) Werte ansah, sondern als veränderliche, d. h. als Werte, welche durch alle möglichen Beträge laufen können. Stellen wir die Beziehung zwischen zwei Dingen durch die symbolische Formel B = f(A), gesprochen: B ist eine Funktion von A, dar, so ist für die antike Auffassung A wie B je ein einzelnes Ding, für die moderne dagegen stellt A wie B je eine unerschöpfliche Reihe von Möglichkeiten dar, in welcher jedem denkbaren Einzelfalle der einen Reihe ein entsprechender der anderen zugeordnet ist.

Hierin liegt der wesentliche Gewinn durch den Stetigkeitsbegriff. Allerdings bringt er in die Rechnung auch die oben erwähnten Widersprüche hinein, die sich durch die immer wieder von neuem aufgenommenen Erörterungen über die Bedeutung des unendlich Großen und Kleinen zur Geltung bringen. Die insbesondere von Leibniz eingeführte Rechnung mit Differentialen, d. h. mit unendlich kleinen Größen, die dabei in den meisten Beziehungen den Charakter der endlichen Größen noch beibehalten, aus denen sie entstanden gedacht werden, hat sich ebenso ergiebig an tatsächlichen Resultaten, wie spröde gegen ihre gedankliche Bewältigung gezeigt. Wir fassen am besten diese Differentiale als den Ausdruck des Schwellengesetzes auf, durch welches die Beziehung zwischen Unstetigem und Stetigem überhaupt erst entstanden oder möglich geworden ist.

An früherer Stelle (S. 43) ist dargelegt worden, wie der erste Ansatz einer kausalen Beziehung, den die Erfahrung zu ergeben pflegt, durch Vervielfältigung dieser Erfahrung gereinigt und ausgearbeitet werden kann. Die beschriebene Methode beruhte darauf, daß man die notwendigen und zureichenden Faktoren des Ergebnisses dadurch ermittelte, daß man aus der »Ursache« der Reihe nach die verschiedenen Faktoren fortließ, aus denen sich ihr Begriff zusammensetzte und zusammensetzen konnte, und aus dem Erfolg, nämlich dem Auftreten oder Ausbleiben der »Wirkung«, auf die Notwendigkeit oder Überflüssigkeit jener einzelnen Faktoren schloß.

Offenbar setzt die Anwendung dieses Verfahrens voraus, daß man in der Lage ist, jene einzelnen Faktoren fortzulassen. Dies ist sehr oft nicht möglich, und dann tritt gegenüber der unzulänglichen Methode des Einzelfalles die Methode der stetigen Funktionsbeziehung mit ihrer unbegrenzt viel größeren Ausgiebigkeit ein. Wenn man nämlich die Faktoren auch meist einzeln nicht fortlassen kann, so gibt es doch nur wenige Fälle, wo man sie nicht ändern oder wo man den Erfolg nicht unter selbsttätig veränderten Werten der Faktoren beobachten könnte. Dann aber haben wir den Satz, daß für die Kausalbeziehung alle solche Faktoren wesentlich sind, bei deren Änderung sich das Ergebnis ändert.

Man erkennt alsbald, daß es sich um eine Verallgemeinerung jener früheren und steiferen Methode handelt. Denn das Fortlassen des Faktors bedeutet, daß man seinen Wert auf Null reduziert. Nunmehr ist es nicht nötig, bis zu dieser äußersten Grenze zu gehen, sondern es genügt, daß man den zu untersuchenden Faktor nur in irgendeiner Weise beeinflußt.

Allerdings ist dann das Ergebnis auch nicht wie früher mit ja oder nein verschieden, sondern es hat sich nur teilweise, mehr oder weniger, geändert. Hieraus erkennt man, daß die Anwendung dieses Verfahrens auch eine verfeinerte Beobachtung, insbesondere Messungen, Wert- oder Größenbestimmungen erfordert. Andererseits aber erkennt man auch, wieviel tiefer man in die Kenntnis der Dinge durch Anwendung des Meßverfahrens eindringen kann. Jede Steigerung in der Genauigkeit der Messungen bedeutet die Aufdeckung einer neuen, bislang unzugänglich gewesenen Schicht wissenschaftlicher Wahrheiten.

Aus der Tatsache, daß die Naturerscheinungen im allgemeinen stetig vor sich gehen, kann man einige sehr wichtige und allgemein anwendbare Schlüsse ziehen, deren man sich unaufhörlich für die Entwicklung der Wissenschaft bedient.

Wenn man eine Beziehung zweier stetig veränderlicher Werte in der Gestalt A = f(B) vermutet, so überzeugt man sich von ihrem Bestehen, indem man zu verschiedenen Werten von A die entsprechenden von B (oder umgekehrt) beobachtet. Findet man, daß Veränderungen des einen Veränderungen des anderen entsprechen, so ist das Vorhandensein einer solchen Beziehung zunächst nur für die beobachteten Werte nachgewiesen. Man zögert aber nie, den Schluß zu ziehen, daß für Werte von A, die zwischen den beobachteten liegen, aber noch nicht beobachtet worden sind, die zugehörigen Werte von B gleichfalls zwischen den beobachteten liegen werden. Hat man, um ein ganz äußerliches Beispiel zu wählen, die Lufttemperatur an irgendeiner Stelle in Zwischenzeiten von je zwei Stunden beobachtet, so wird man ohne Zögern annehmen, daß in den zwischenliegenden Stunden, wo nicht beobachtet worden ist, die Werte zwischen den angrenzenden beobachteten liegen werden. Zeichnet man in üblicher Weise die Zeiten als horizontale Längen, die Temperaturen über den zugehörigen Zeiten als Höhen auf, so besagt das Gesetz der Stetigkeit, daß alle diese Temperaturpunkte in einer stetigen Linie liegen, so daß, wenn eine Anzahl hinreichend nahe beieinander liegender Punkte bekannt ist, man die zwischenliegenden Punkte aus der stetigen Linie entnehmen kann, die man durch die bekannten Punkte legt. Man nennt dies ganz allgemein benutzte Verfahren Interpolieren, und man erkennt alsbald, daß es um so genauer ausfallen wird, je näher die bekannten Punkte beieinander liegen, und je einfacher die Linie verläuft.

Die Anwendung des Stetigkeitsgesetzes bedeutet also nichts geringeres, als daß man aus einer endlichen, häufig nicht einmal sehr großen Anzahl von einzelnen Bestimmungen das Mittel entnehmen kann, für unbegrenzt viele, nicht untersuchte Fälle das Ergebnis vorauszusagen. Es handelt sich also um ein eminent wissenschaftliches Verfahren.

Noch weiter geht der Wert dieses Mittels, wenn es gelingt, die Beziehung A = f(B) in geschlossener mathematischer Form auszudrücken. Zunächst stellt sich nämlich das Ergebnis der Bestimmung einer Anzahl Einzelwerte jener Funktion als eine Tabelle zusammengeordneter Werte dar. Durch das eben beschriebene zeichnerische Verfahren, oder durch gleichwertige rechnerische Interpolationsverfahren erweitert man diese Tabelle so, daß sie über alle Zwischenwerte Auskunft gibt. Aber es handelt sich hierbei immer noch um eine mechanische Zuordnung der entsprechenden Werte. Häufig gelingt es nun, namentlich, wo es sich um die Beziehung einfacher oder reiner Begriffe handelt, eine allgemeine Rechenvorschrift zu finden, nach welcher die Größe A aus der Größe B oder umgekehrt ermittelt werden kann. Dann erst pflegt man von einem Naturgesetz im quantitativen Sinne zu sprechen.

So kann man beispielsweise beobachten, welche Räume eine gegebene Luftmenge einnimmt, wenn man sie folgeweise verschiedenen Drucken unterwirft. Stellt man diese Werte in einer Tabelle zusammen, so kann man auch die zugehörigen Räume für alle zwischenliegenden Drucke berechnen. Aber bei genauerer Prüfung der Zahlen bemerkt man, daß sie einander umgekehrt proportional sind, oder daß sie, miteinander multipliziert, gleiche Produkte geben. Bezeichnet man mit v den Raum und mit p den Druck, so nimmt diese Beobachtung die mathematische Form an: p x v = K wo K eine bestimmte Zahl bedeutet, die von der Luftmenge, der Druckeinheit usw. abhängt, aber in einer Versuchsreihe, in welcher diese Dinge gleichbleiben, sich nicht ändert. Aus der allgemeinen Funktionsgleichung A = f(B) wird die bestimmte p = K/v, und diese gestattet durch eine einfache Rechnung, wenn der Wert von K durch einen Versuch bestimmt worden ist, für jeden beliebigen Druck den zugehörigen Raum zu berechnen.

Zunächst hat man das Recht zu einer solchen Rechnung nur innerhalb des Gebietes, in welchem man die Versuche angestellt hat, und der einfache mathematische Ausdruck des Naturgesetzes hat vor der Hand keine weitere Bedeutung, als die einer besonders bequemen Vorschrift zur Interpolation. Aber in einer solchen Form liegt alsbald eine Aufforderung, die Frage experimentell zu beantworten, wie weit man sie ausdehnen kann. Daß es hier eine Grenze geben muß, geht alsbald aus der Betrachtung der Formel selbst hervor, denn wenn man p = 0 setzt, so wird v = unendlich, was beides über das Gebiet der möglichen Erfahrung hinausgeht.

Ähnliche Betrachtungen lassen sich bei allen solchen mathematisch formulierten Naturgesetzen anstellen, und man hat daher jedesmal die Frage nach dem Geltungsbereich eines solchen Ausdruckes zu stellen und es durch Beobachtung zu beantworten.

Während in dieser Betrachtung das mathematisch formulierte Naturgesetz nur die Beschaffenheit einer bequemen Interpolationsformel zu haben scheint, sind wir doch gewohnt, die Auffindung einer derartigen Formel als eine große geistige Tat anzusehen, die uns so imponiert, daß wir sie häufig mit dem Namen des ersten Entdeckers dauernd bezeichnen. Worin liegt also der weitergehende Wert einer solchen Formulierung?

Er liegt darin, daß einfache Formeln nur dann gefunden werden, wenn die begriffliche Analyse der Erscheinung hinreichend weit vorgeschritten ist. Gerade die Einfachheit der Formel zeigt, daß die Begriffsbildung, die ihr zugrunde liegt, besonders zweckmäßig ist. In der Theorie des Ptolemäus über die Bewegung der Planeten waren die Mittel zur Vorausberechnung ihrer Örter ebenso gegeben, wie in der Theorie des Kopernikus. Die erste aber beruhte auf der Annahme, daß die Erde ruht und daß die Sonne nebst den anderen Planeten sich bewegt. Durch die Annahme, daß die Sonne ruht und die Erde nebst den anderen Planeten sich bewegt, ließen sich die Planetenörter sehr viel leichter berechnen, und darin bestand zunächst der Wert des Kopernikanischen Fortschrittes. Erst viel später hat sich herausgestellt, daß noch eine Anzahl anderer tatsächlicher Verhältnisse durch die gleiche Annahme eine viel angemessenere Darstellung erfuhren, und dadurch ist die Kopernikanische Theorie zu allgemeiner Anerkennung und Anwendung gelangt.

Mit den hier gegebenen Hinweisen ist die Bedeutung und das Anwendungsgebiet des Stetigkeitsgesetzes keineswegs erschöpft. Es wird sich aber später noch mehrfach Gelegenheit bieten, einzelne Anwendungen aufzuzeigen und so seinen Gebrauch beim angehenden Forscher zu einer stehenden geistigen Gewohnheit zu machen.

Zeit und Raum sind zwei sehr allgemeine Begriffe, die aber zweifellos nicht elementar sind. Denn außer dem Elementarbegriff der Stetigkeit, den beide enthalten, finden sich in der Zeit noch die weiteren Bestimmungen der einfaltigen oder eindimensionalen Beschaffenheit, der Unmöglichkeit, auf einen vergangenen Zeitpunkt zurückzukehren (Abwesenheit von Doppelpunkten) und der Einsinnigkeit, d. h. des grundsätzlichen Unterschiedes zwischen früher und später. Eben letztere Eigenschaft findet sich im Raumbegriff nicht wieder, der in jedem Sinne symmetrisch ist; dagegen enthält er eine dreifache Mannigfaltigkeit in den drei Dimensionen.

Daß man trotz dieser weitgehenden Sonderbestimmungen die Gesamtheit unserer Erlebnisse innerhalb der Begriffe Raum und Zeit ausdrücken oder darstellen kann, ist ein sehr anschauliches Zeugnis dafür, wie sehr viel beschränkter die Erfahrung ist, als die formale Mannigfaltigkeit des Denkbaren. In solchem Sinne kann man Raum und Zeit als Naturgesetze auffassen, welche auf alle unsere Erlebnisse Anwendung finden. Gleichzeitig tritt hierbei der subjektiv-menschliche Anteil der Naturgesetze deutlich zutage.

Die Eigenschaften der Zeit sind so einfacher und übersichtlicher Natur, daß eine besondere Wissenschaft von der Zeit nicht besteht. Was von ihr zu wissen nötig ist, erscheint als Teil der Physik, insbesondere der Mechanik. Indessen spielt die Zeit bereits eine wesentliche Rolle in der alsbald zu kennzeichnenden Phoronomie, wo sie allerdings nur in ihrer einfachsten Gestalt, als einreihige stetige Mannigfaltigkeit auftritt.

Dagegen bedingt das Vorhandensein der drei Raumdimensionen eine große Mannigfaltigkeit möglicher Beziehungen und damit das Bestehen einer sehr ausgedehnten Wissenschaft von den räumlichen Gebilden, der Geometrie. Diese sondert sich in verschiedene Teile, je nachdem es sich um rein räumliche Beziehungen ohne den Begriff des Maßes handelt (Geometrie der Lage) oder dieser letztere Begriff mitwirkt. Um ihn einzuführen, bedarf es allerdings erst einer bestimmten Voraussetzung, die an sich unbeweisbar ist, und daher als willkürliche Annahme erscheint, die nur dadurch gerechtfertigt wird, daß sie von allen möglichen die einfachste ist. Sie besteht darin, daß man annimmt, ein starrer Körper könne allseitig im Raume bewegt werden, ohne daß sich seine Maße ändern. Oder man kann auch umgekehrt definieren, daß im Raume solche Stücke gleich genannt werden sollen, die von einem starren Körper nach beliebiger Verschiebung eingenommen werden.

Daß ein weitgehendes Willkürverfahren in dieser Annahme liegt, wird uns nur deshalb nicht bewußt, weil wir von der Schule her daran gewöhnt sind. Überlegt man aber, daß der tägliche Augenschein uns nichts anderes lehrt, als daß der von einem starren Körper, etwa einem Stab, eingenommene Raum, gemäß der Art, wie er sich unserem Auge darstellt, in weitgehendster Weise mit seiner Lage im Raume veränderlich ist und daß wir jenen Satz nur dadurch aufrechterhalten können, daß wir diese Veränderungen für »scheinbar« erklären, so erkennt man die tatsächliche Willkür, welche in jener Annahme liegt. Wir könnten ebensogut die gesamten Verhältnisse darstellen, wenn wir annähmen, daß jene Veränderungen wirklich sind und rückgängig werden, wenn wir den Stab wieder in sein früheres Verhältnis zu unserem Auge bringen. Aber wenn eine solche Auffassung auch grundsätzlich durchführbar ist, soweit es sich bloß um das Raumbild des Stabes handelt, so finden wir doch, daß sie für andere Beziehungen (z. B. die Tatsache, daß das Gewicht des Stabes durch Veränderung seines optischen Bildes nicht beeinflußt wird) zu so weitgehenden Verwickelungen führen würde, daß wir besser durchkommen, wenn wir die übliche Annahme von der Scheinbarkeit der optischen Veränderungen machen.

Wir lernen bei dieser Gelegenheit die weitgehende Beeinflussung kennen, welche die verschiedenen Anteile der Erfahrung bei der Gestaltung der Wissenschaft aufeinander ausüben. Es handelt sich bei jeder besonderen Zusammenfassung von Erfahrungen, d. h. bei jeder einzelnen wissenschaftlichen Theorie nicht nur darum, diese besondere Gruppe von Erfahrungen für sich allein zusammenzufassen, sondern gleichzeitig darum, noch andere Erfahrungen zweckentsprechend anschließen zu können. Wirkt diese Notwendigkeit auch einerseits erschwerend auf die Ausbildung einer angemessenen Theorie, so bringt sie doch andererseits den großen Gewinn, daß sie die Auswahl unter mehreren, zunächst gleichwertigen Theorien ermöglicht und dadurch eine schärfere Abbildung der Wirklichkeit gestattet. Beispielsweise ist es für das Verständnis der gegenseitigen Bewegung von Sonne und Erde gleichwertig, ob man annimmt, daß sich die Sonne um die Erde, oder die Erde um die Sonne bewegt. Erst wenn man sich die Aufgabe stellt, auch die Örter der anderen Planeten theoretisch darzustellen, ergibt sich der ökonomische Vorzug der zweiten Auffassung, und Tatsachen, wie der Foucaultsche Pendelversuch, lassen sich mit dem gegenwärtigen Bestande der Wissenschaft nur gemäß dieser zweiten Auffassung darstellen.

Ebenso ist die Voraussetzung der wissenschaftlichen Geometrie, daß der Raum nach allen Richtungen gleiche Eigenschaften habe, im Widerspruche mit der unmittelbaren Erfahrung. In dieser unterscheiden wir scharf zwischen Unten und Oben, wenn wir auch bereit sind, nach horizontaler Richtung die »Homogenität« des Raumes zuzugeben. Dies rührt, wie die Physik lehrt, daher, daß wir uns in einem einseitig von oben nach unten gerichteten Gravitationsfelde befinden, welches uns Horizontaldrehungen ohne weiteres erlaubt, dagegen die dritte Richtung mit einem charakteristischen Unterschiede ausstattet. Da wir durch Betrachtungen anderer Art uns in den Stand setzen können, von diesem Gravitationsfelde bei der Untersuchung des Raumes abzusehen, so abstrahieren wir in der Geometrie davon und verzichten auf die Berücksichtigung der entsprechenden Mannigfaltigkeit. In der Lehre von der Schwere wird dagegen gerade diese Mannigfaltigkeit zum Gegenstande wissenschaftlicher Untersuchung gemacht.

Durch gemeinsame Anwendung der Begriffe des Raumes und der Zeit erhalten wir den der Bewegung; die entsprechende Wissenschaft heißt Phoronomie. Um diese neue Veränderliche der Messung zugänglich zu machen, bedürfen wir wiederum einer Übereinkunft oder Konvention, wie wir die Zeit messen wollen. Denn da eine vergangene Zeit nie wieder hervorgebracht werden kann, erleben wir tatsächlich nur unausgedehnte Augenblicke und haben kein Mittel, die Gleichheit zweier Zeiten durch Nebeneinanderlegen zu erkennen, bzw. zu definieren, wie wir das mit räumlichen Größen tun können. Wir helfen uns damit, daß wir sagen, daß bei unbeeinflußten Bewegungen gleichenräumlichen Änderungen gleiche Zeiten entsprechen sollen. Als solche unbeeinflußte Bewegungen wird die Achsendrehung der Erde und ihr Umschwung um die Sonne angesehen. Beide hängen von verschiedenartigen Umständen ab, und die erfahrungsmäßige Tatsache, daß das Verhältnis beider Bewegungen oder das Verhältnis zwischen Tag und Jahr praktisch dasselbe bleibt, ist eine Stütze für jene Annahme und beweist gleichzeitig die Zweckmäßigkeit der angegebenen Definition der Zeit.

Eine methodisch bemerkenswerte Stellung in der Raumlehre nimmt die analytische Geometrie ein, welche in der Anwendung der Algebra auf geometrische Verhältnisse besteht. Nach diesem Verfahren kann man auf rechnerischem Wege geometrische Resultate erlangen, d. h. durch Handhabung des algebraischen Zeichenmaterials Aufschlüsse über unbekannte räumliche Verhältnisse gewinnen. Es bedarf einer Erklärung, wie man nach einer scheinbar so fremdartigen Methode derart spezielle Schlüsse gewinnen kann.

Die Antwort liegt wiederum in dem allgemeinen Prinzip der Zuordnung, welches gerade hier eine besonders eindringliche Beleuchtung erfährt. Man ordnet den drei veränderlichen Dimensionen des Raumes drei algebraische Zeichen x, y und z zu, denen man zunächst die gleiche unabhängige und stetige Veränderlichkeit zuschreibt und zwischen denen man außerdem dieselben gegenseitigen Beziehungen als bestehend voraussetzt, welche tatsächlich zwischen den drei räumlichen Dimensionen bestehen. Man erteilt mit anderen Worten jenen algebraischen Zeichen genau die gleiche Art der Mannigfaltigkeit, wie sie die räumlichen Verhältnisse besitzen, denen sie zugeordnet sind, und darf daher erwarten, daß alle unter diesen Voraussetzungen gezogenen Schlüsse sich entsprechend bei der räumlichen Mannigfaltigkeit vorfinden werden. Demgemäß entspricht einer jeden durch Rechnung entstandenen Umformung jener algebraischen Formeln eine zugeordnete räumliche Beziehung, und wenn derartige Umformungen zu einer algebraisch einfachen Gestalt geführt haben, so muß auch die zugehörige räumliche Form eine analoge Einfachheit aufweisen. Es liegt also ein Fall vor, wie er S. 96 unter einfacheren Bedingungen beschrieben worden ist, daß Umordnungen, die an der einen Gruppe vorgenommen werden, sich an der zugeordneten Gruppe entsprechend wiederholen, und nur die große Verschiedenartigkeit der Dinge, aus denen hier beide Gruppen bestehen: räumliche Verhältnisse einerseits und algebraische Zeichen andererseits, bewirkt den überraschenden Eindruck dieser Methode, der sich seinerzeit bei ihrer Erfindung stark geltend gemacht hatte und der sich noch jetzt bei mathematisch begabten Schülern gelegentlich ihrer ersten Bekanntschaft mit der analytischen Geometrie wiederholt.

Ehe wir uns mit der Betrachtung der Grundlagen anderer Wissenschaften beschäftigen, wird es zweckmäßig sein, das bisher durchmessene Gebiet rückschauend zusammenzufassen. Denn da, wie bereits bemerkt, die späteren Wissenschaften für ihre Zwecke stets den ganzen Inhalt der früheren verwenden, so muß die Herrschaft über diesen gesichert sein, um eine sachgemäße Anwendung zu ermöglichen.

Dies bedeutet allerdings nicht, daß man das ganze Gebiet jener früheren Wissenschaften vollständig innehaben muß, um eine spätere zu treiben. Bereits aus Gründen der menschlichen Begrenztheit wäre die Forderung unausführbar. Vielmehr kann eine erfolgreiche Arbeit in einer der späteren Wissenschaften bereits ausgeführt werden, wenn nur die allgemeinsten Grundzüge der früheren klar erfaßt sind. Allerdings nimmt die Schnelligkeit und Sicherheit der Ergebnisse sehr bedeutend zu, wenn eine tiefergehende Kenntnis der früheren Wissenschaften vorhanden ist, und der einzelne hat demgemäß einen Mittelweg zu suchen zwischen der Gefahr ungenügender Vorbereitung für seine Sonderwissenschaft und der anderen Gefahr, vor lauter Vorbereitung überhaupt nicht zu ihr zu kommen. Unter allen Umständen soll er sich bereithalten, stets, und sei es auch in späterem Alter, sich jene grundlegenden Hilfsmittel zu erwerben, sobald er bei der Ausführung irgendeiner Sonderarbeit das Bedürfnis dazu empfindet. Es wird ja allgemein anerkannt, daß ohne Logik ein sachgemäßer Wissenschaftsbetrieb unmöglich ist; doch ist sogar bei wissenschaftlichen Menschen die Ansicht weit verbreitet, daß ein jeder die erforderliche Fähigkeit ihrer Handhabung von selbst mitbringe. Ebensowenig, wie man von selbst rechnen lernt, wenn man auch vielleicht die elementarsten Sätze selbst aufgefunden haben mag, ebensowenig wird man es in der Handhabung der allgemein-erforderlichen logischen Regeln zu Sicherheit und Fertigkeit bringen, wenn man nicht entsprechende Studien getrieben hat. Die wissenschaftlichen Arbeiten der großen Vorgänger und Führer in der Einzelwissenschaft enthalten allerdings praktische Beispiele solcher logischer Betätigung. Aber die vollständige Freiheit und Sicherheit gewinnt man erst auf Grundlage eines bewußten Wissens.

Wir haben nun gesehen, wie aus der physiologischen Veranlagung unseres geistigen Apparates der Vorgang der Begriffsbildung und die Erfahrung der Begriffszusammenhänge sich als Grundlage des ganzen geistigen Lebens darstellen. Die Gesetze der Wechselwirkung der allgemeinsten oder elementaren Begriffe betätigten sich in der Ausgestaltung der Begriffe: Ding, Gruppe, Zuordnung. Hier fanden sich die Grundlagen der Logik oder Begriffslehre. Ein besonderer Abstraktionsvorgang ergab den Begriff der Zahl, und damit das entsprechende Gebiet der Mathematik, Arithmetik, Algebra und Zahlentheorie.

Durch die zweite Fundamentaltatsache der Physiologie, die Schwelle, wurde ein anderer Elementarbegriff, der der Stetigkeit, erläutert. Die Zuordnung einzelner Dinge wird unter dem Einflusse dieses Begriffes zur Zuordnung stetiger Erscheinungsreihen erweitert und ergab den entsprechend umfassenderen Begriff der Funktion. Aus der Anwendung des Zahlbegriffes auf stetige Dinge ergab sich die Idee der Messung. In der Mathematik führt der Stetigkeitsbegriff zur höheren Analysis und Funktionentheorie. Endlich erwies sich der Stetigkeitsbegriff als ein unerschöpfliches Hilfsmittel zur Erweiterung wissenschaftlicher Kenntnisse und zur Formulierung von Naturgesetzen in mathematischer Gestalt.

	größer als die
Ist die Gruppe `A`	gleich der	Gruppe `B`
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und diese	gleich der	Gruppe `C`,
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	größer als die
so ist auch die Gruppe `A`	gleich der	Gruppe `C`.
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Inhalt

Allgemeine Erkenntnistheorie

Mathetik.

Die Arbeitswissenschaften.

Die Lebenswissenschaften.

Zweiter Teil.

Mathetik.